22.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T,对任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立.（1）函

22.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T,对任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立.（1）函
22.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T,对任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立.
（1）函数f（x）=x是否属于集合M?说明理由；
（2）设函数f（x）=ax（a>0且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点,证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M,求实数k的取值范围.

22.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T,对任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立.（1）函
（1）对于非零常数T,f（x+T）=x+T,Tf（x）=Tx.
因为对任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以f（x）=x不属于 M.
（2）因为函数f（x）=aˆx（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组：y= aˆx
y=x 有解,消去y得aˆx=x,
显然x=0不是方程aˆx=x的解,所以存在非零常数T,使aˆT=T.
于是对于f（x）=aˆx,有f（x+T）=aˆ(x+T)=aˆx·aˆT=T·aˆx=Tf（x）,故f（x）=aˆx∈M.
（3）当k=0时,f（x）=0,显然f（x）=0∈M.
当k≠0时,因为f（x）=sinkx∈M,所以存在非零常数T,
对任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立,即sin（kx+kT）=Tsinkx.
因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx∈［－1,1］,sin（kx+kT）∈［－1,1］,
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立,只有T=±1.
当T=1时,sin（kx+k）=sinkx成立,则k=2mπ,m∈Z.
当T=－1时,sin（kx－k）=－sinkx成立,
即sin（kx－k+π）=sinkx成立,
则－k+π=2mπ,m∈Z,即k=－（2m－1）π,m∈Z.
综合得,实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}.

（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx.
因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f（x）=x不属于 M.
（2）因为函数f（x）=aˆx（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：y= aˆx
y=x 有解，消去y得a...

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（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx.
因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f（x）=x不属于 M.
（2）因为函数f（x）=aˆx（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：y= aˆx
y=x 有解，消去y得aˆx=x，
显然x=0不是方程aˆx=x的解，所以存在非零常数T，使aˆT=T.
于是对于f（x）=aˆx，有f（x+T）=aˆ(x+T)=aˆx·aˆT=T·aˆx=Tf（x），故f（x）=aˆx∈M.
（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M.
当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，
对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，即sin（kx+kT）=Tsinkx.
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈［－1，1］，sin（kx+kT）∈［－1，1］，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立，只有T=±1.
当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，则k=2mπ，m∈Z.
当T=－1时，sin（kx－k）=－sinkx成立，
即sin（kx－k+π）=sinkx成立，
则－k+π=2mπ，m∈Z，即k=－（2m－1）π，m∈Z.
综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}.

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