设f(x)在(a,b)内连续,a＜x1＜x2＜b,试证在(a,b)内至少有一点c,使得t1f(x1)+t2f(x2)=(t1+t2)c

设f(x)在(a,b)内连续,a＜x1＜x2＜b,试证在(a,b)内至少有一点c,使得t1f(x1)+t2f(x2)=(t1+t2)c
设f(x)在(a,b)内连续,a＜x1＜x2＜b,试证在(a,b)内至少有一点c,使得t1f(x1)+t2f(x2)=(t1+t2)c

设f(x)在(a,b)内连续,a＜x1＜x2＜b,试证在(a,b)内至少有一点c,使得t1f(x1)+t2f(x2)=(t1+t2)c
这里t1,t2>0
证明：因f(x)在(a,b)内连续,故在[x1,x2]上连续.设f(x)在闭区间[x1,x2]上的最大值为M,最小值为m.故m《[t1f(x1)+t2f(x2)]/(t1+t2)《M,
由介值性定理,在[x1,x2]至少存在c(c当然属于(a,b)）,使f(c)=[t1f(x1)+t2f(x2)]/(t1+t2)
即：t1f(x1)+t2f(x2)=(t1+t2)f(c)