在△ABC中,BE、CF是△ABC的边长AC和AB上的高,在BE上截取BP=AC,在CF的延长线上截取CQ=AB,求证AP=AQ

在△ABC中,BE、CF是△ABC的边长AC和AB上的高,在BE上截取BP=AC,在CF的延长线上截取CQ=AB,求证AP=AQ
在△ABC中,BE、CF是△ABC的边长AC和AB上的高,在BE上截取BP=AC,在CF的延长线上截取CQ=AB,求证AP=AQ

在△ABC中,BE、CF是△ABC的边长AC和AB上的高,在BE上截取BP=AC,在CF的延长线上截取CQ=AB,求证AP=AQ
证明：∵BE⊥AC CF⊥AB
      ∴∠AFC=90° ∠AEB=90°
      ∴∠ABE=180°-∠AFC-∠BAC=90°-∠BAC
        ∠ACF=180°-∠AEB-∠BAC=90°-∠BAC
      即∠ABE=∠ACF
      在△ABD与△QCA中
      AB=CQ
    ｛∠ABE=∠ACF
      BP=AC
      ∴△ABD≌△QCA（SAS）
      ∴AP=AQ

∵BE⊥AC, AB⊥CF
∴∠ABE=∠ACF= 90°-∠BAC
∵AB=CQ,BP=AC
∴△ACQ≌△APB(SAS)
∴AP=AQ