如图①,四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F．（1）求证：DE-BF=EF；若点G为CB延长线上一点,其余条件不变．请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 04:03:06
如图①,四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F．（1）求证：DE-BF=EF；若点G为CB延长线上一点,其余条件不变．请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系
如图①,四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F．
（1）求证：DE-BF=EF；
若点G为CB延长线上一点,其余条件不变．请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．
如图①,四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F．（1）求证：DE-BF=EF；若点G为CB延长线上一点,其余条件不变．请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系
第一个问题：
∵ABCD是正方形,∴AB＝DA、AB⊥AD.
∵BF⊥AF、AB⊥AD,∴∠ABF＝∠DAE（同是∠BAF的余角）,
又AB＝DA、∠AFB＝∠DFA＝90°,∴△ABF≌△DAE,∴BF＝AE、AF＝DE.
显然有：AF－AE＝EF,∴DE－BF＝EF.
第二个问题：此时有：DE＋BF＝EF.
∵AB⊥AD、BF⊥AF,∴∠FBA＝∠EAD（同是∠BAF的余角）,
又AB＝DA、∠AFB＝∠DEA＝90°,∴△ABF≌△DAE,∴BF＝AF、AF＝DE.
显然有：AF＋AE＝EF,∴DE＋BF＝EF.
：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF．
（2）EF=2FG，
理由如下：
∵AB⊥BC，BF⊥AG，AB=2BG，
∵∠BAG=∠GBF，
∴△ABG∽△BFG，
同理可得，△AFB∽△BFG∽△ABG，
∴ABBG=AFBF=BFFG=2，
∴AF=2BF，BF=2FG，
由（1）知，AE=BF，
∴EF=AF-AE=AF-BF=BF=2FG．
（3）如图，DE+BF=EF．