已知a+b+c=a^2+b^2+c^2=2 ,求证a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2

已知a+b+c=a^2+b^2+c^2=2 ,求证a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2
已知a+b+c=a^2+b^2+c^2=2 ,求证a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2

已知a+b+c=a^2+b^2+c^2=2 ,求证a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2
证明 先计算 bc+ca+ab=[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]/2=1
设f(x)=x(1-x)^2,只需证明:f(a)=f(b)=f(c) 即可.
注意恒等式运算
(x-a)*(x-b)*(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+( bc+ca+ab)x-abc=x^3-2x^2+x-abc
所以得
f(x)=(x-a)*(x-b)*(x-c)+abc (1)
令x=a,b,c依次得:f(a)=f(b)=f(c) .
从而 a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2=abc.