已知a是锐角,求证sin a

已知a是锐角,求证sin a
已知a是锐角,求证sin a

已知a是锐角,求证sin a
做半径为R的圆
在圆上做半径OA、OB,使∠AOB=α,并且0＜α＜π/2
做AC垂直OB 于C,连接AB
做BD⊥OB,交OA的延长线于D
∵AC⊥OB,BD⊥OB
∴△OAC,△BAC,△ODB都是直角三角形
根据三角函数的定义得：
sinα=AC/OA=AC/R,AC=Rsinα
tanα=BD/OB=BD/R,BD=Rtanα
△OAB的面积S1=1/2*OB*AC=1/2*R*Rsinα=sinα*R^2/2
扇形OAB的面积S2=πR^2*{α/(2π)}=αR^2/2
△ODB的面积S3=1/2*OB*BD=1/2*R*Rtanα=tanα*R^2/2
扇形OAB的面积 = △OAB的面积 + 拱形AB的面积
△ODB的面积 = 扇形OAB的面积 + △OBD 中园外部分ADB的面积
∴S1＜S2＜S3
∴sinα*R^2/2 ＜ αR^2/2 ＜ tanα*R^2/2
∴sinα ＜ α ＜ tanα2