在三角形ABC中,已知A>B>C,且A=2C,A,B,C所对的边分别为a,b,c又a,b,c成等差数列,且b=4,求 a-c=_______
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 03:01:05
在三角形ABC中,已知A>B>C,且A=2C,A,B,C所对的边分别为a,b,c又a,b,c成等差数列,且b=4,求 a-c=_______
在三角形ABC中,已知A>B>C,且A=2C,A,B,C所对的边分别为a,b,c又a,b,c成等差数列,且b=4,求 a-c=_______
在三角形ABC中,已知A>B>C,且A=2C,A,B,C所对的边分别为a,b,c又a,b,c成等差数列,且b=4,求 a-c=_______
2b=a+c=8,c=8-a,cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(10-2a)/(8-a)=2cosC^2-1；
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=(2a-6)/a;
sinA=2sinCcosC;所以：a=2CcosC ；
a=2（8-a）（2a-6）/a
（5a-24）（a-4）=0根据题意 a=4.8 所以c=3.2 ；a-c=1.6
题目有点小难~
过程也很长。。。
我简单写一下吧~
在这里需要反复用到公式：
在三角形中，有sinA/a=sinB/b=sinC/c
所以有
(sinA+sinC)/(a+c)=sinB/b
即sinA+sinC=sinB(a+c)/b=2sinB
又A=2C，B=π-A-C，则上式可化为
sin2C+sinC=2sin(π-...
全部展开
题目有点小难~
过程也很长。。。
我简单写一下吧~
在这里需要反复用到公式：
在三角形中，有sinA/a=sinB/b=sinC/c
所以有
(sinA+sinC)/(a+c)=sinB/b
即sinA+sinC=sinB(a+c)/b=2sinB
又A=2C，B=π-A-C，则上式可化为
sin2C+sinC=2sin(π-3C)=2sin3C
展开（把两倍角，三倍角都展开成一倍角，化简的过程注意合并同类项，此处有点复杂，但并不难），整理得到
8cos²C-2cosC-3=(2cosC+1)(4cosC-3)=0
显然，由易知A、B、C为锐角
所以有4cosC=3即cosC=3/4
则sinC=√7/4
所以sinA=sin2C=2sinAcosA=3√7/8,cosA=1/8
sinB=sin(π-A-C)=sinAcosC+sinCcosA
=5√7/16
故由(sinA-sinC)/(a-c)=sinB/b
知
a-c=b(sinA-sinC)/sinB
=4(3√7/8-√7/4)/(5√7/16)
=8/5
为所求~
当然，此题还可以直接求出a和c然后再解~
不知道我的计算过程有没有出错，我都是一边打一边做的，除了上面化简的那一步其余的都没有用草稿纸哦~如果答案错了请见谅！
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