已知P为△ABC内任意一点,连AP,BP,CP并延长分别交对边于D,E,F 求证：（1）PD/AD+PE/BE+PF/CF=1 （2）AP/PD,BP/PE,CP/PF三者中,至少有一个不大于2,也至少有一个不少于2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 20:13:47
已知P为△ABC内任意一点,连AP,BP,CP并延长分别交对边于D,E,F 求证：（1）PD/AD+PE/BE+PF/CF=1 （2）AP/PD,BP/PE,CP/PF三者中,至少有一个不大于2,也至少有一个不少于2
已知P为△ABC内任意一点,连AP,BP,CP并延长分别交对边于D,E,F
求证：
（1）PD/AD+PE/BE+PF/CF=1
（2）AP/PD,BP/PE,CP/PF三者中,至少有一个不大于2,也至少有一个不少于2
已知P为△ABC内任意一点,连AP,BP,CP并延长分别交对边于D,E,F 求证：（1）PD/AD+PE/BE+PF/CF=1 （2）AP/PD,BP/PE,CP/PF三者中,至少有一个不大于2,也至少有一个不少于2
1.第一问题我做过在:http://zhidao.baidu.com/question/110502578.html
2.由PD/AD+PE/BE+PF/CF=1 知PD/AD,PE/BE,PF/CF 中至少有一个不大于1/3 ,不妨设PD/AD ≤1/3 即3AD≤PD.
而AD=AP+PD,
∴AP≥2PD,
∴ AP/PD≥2,即Ap/PD 不小于2.
理可证三式中至少有一个不大于2.
第一问用面积法
PD/AD=S(三角形BPC)/S(ABC)
PE/BE=……
PF/CF=……
三者相加
PD/AD+PE/BE+PF/CF=S(BPC)+S(APB)+S(APC)/S(ABC)=1
至于第二问 就用抽屉嘛
由第一问结论 很好做
1.由面积概念得：
△PBC+△PAC+△PAB=△ABC （1）
整理等式得：
△PBC/△ABC+△PAC/△ABC+△PAB/△ABC=1 （2）
由面积概念得：
△PDC/△ADC=PD/AD △PDB/△ADB= PD/AD
经合比定律得：
△PBC/△ABC= PD/AD （3）
同样道理得：
全部展开
1.由面积概念得：
△PBC+△PAC+△PAB=△ABC （1）
整理等式得：
△PBC/△ABC+△PAC/△ABC+△PAB/△ABC=1 （2）
由面积概念得：
△PDC/△ADC=PD/AD △PDB/△ADB= PD/AD
经合比定律得：
△PBC/△ABC= PD/AD （3）
同样道理得：
△PAC/△ABC=PE/BE （4）
△PAB/△ABC=PF/CF （5）
把式（3）、（4）、（5）代入式（2）得：
PD/AD+PE/BE+PF/CF=1 （6）
2）AP/PD，BP/PE，CP/PF三者至少有一个不大于2 至少有一个不小于2 ，即PD/AD、PE/BE+、PF/CF中至少有一个不大于1/3， 至少有一个不小于1/3。（例如，AP+PD=AD，AP/PD》2，则PD/AD《1/3）
三者中的最大肯定不小于三者的平均数，三者中的最小肯定不大于三者的平均数。
三者的和为1，则平均数为1/3。
在上一问得帮助下易得证。
收起