在三角形ABC中,角A:角B=1:3,CD为角平分线,三角形BCD与三角形ACD的面积之比为2:5,求角A的正弦值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 13:01:51
在三角形ABC中,角A:角B=1:3,CD为角平分线,三角形BCD与三角形ACD的面积之比为2:5,求角A的正弦值.
在三角形ABC中,角A:角B=1:3,CD为角平分线,三角形BCD与三角形ACD的面积之比为2:5,求角A的正弦值.
在三角形ABC中,角A:角B=1:3,CD为角平分线,三角形BCD与三角形ACD的面积之比为2:5,求角A的正弦值.
三角形BCD与三角形ACD,同高,因此有BD/AD=三角形BCD面积与三角形ACD面积=2：5
三角形BCD中：BD/sin∠BCD=BC/sin∠BDC
三角形ACD中：AD/sin∠ACD=AC/sin∠ADC
两式相除：BD/AD=BC/AC（角平分线定理）
BC/AC=BD/AD=2:5
BC/AC=sinA/sinB=sinA/sin3A
sin3A=sin（A+2A）=sinAcos2A+cosAsin2A=sinA（1-2sin²A）+cosA*2sinAcosA=sinA（1-2sin²A+2cos²A）=sinA（3-4sin²A）
BC/AC=sinA/sinB=sinA/sin3A=sinA/[sinA（3-4sin²A）]=2:5
1/（3-4sin²A)=2:5
3-4sin²A=5/2
sin²A=1/8
sinA=(√2)/4
【注：三倍角公式：sin3x=3sinx-4sin³x.】易知，BD:AD=2:5.又由三角形的角平线性质知，BC:AC=BD:AD=2:5.令∠A=x,则∠B=3x.在⊿ABC中，由正弦定理知，sinA:sinB=BC:AC=2:5.===>2sinB=5sinA.即2sin3x=5sinx.===>2(3sinx-4sin³x)=5sinx.因sinx≠0.∴6-8sin&...
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【注：三倍角公式：sin3x=3sinx-4sin³x.】易知，BD:AD=2:5.又由三角形的角平线性质知，BC:AC=BD:AD=2:5.令∠A=x,则∠B=3x.在⊿ABC中，由正弦定理知，sinA:sinB=BC:AC=2:5.===>2sinB=5sinA.即2sin3x=5sinx.===>2(3sinx-4sin³x)=5sinx.因sinx≠0.∴6-8sin²x=5.===>sin²x=1/8.===>sinx=√2/4.即sinA=√2/4.
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