抛物线C:y²=4x与直线y=2x+k相交于AB两点,且|AB|=根号15在抛物线C上是否存在点P,使得△ABP的重心恰为抛物线C的焦点F,如存在,求点P的坐标,若不存在,请说明理由

抛物线C:y²=4x与直线y=2x+k相交于AB两点,且|AB|=根号15在抛物线C上是否存在点P,使得△ABP的重心恰为抛物线C的焦点F,如存在,求点P的坐标,若不存在,请说明理由
抛物线C:y²=4x与直线y=2x+k相交于AB两点,且|AB|=根号15在抛物线C上是否存在点P,
使得△ABP的重心恰为抛物线C的焦点F,如存在,求点P的坐标,若不存在,请说明理由

抛物线C:y²=4x与直线y=2x+k相交于AB两点,且|AB|=根号15在抛物线C上是否存在点P,使得△ABP的重心恰为抛物线C的焦点F,如存在,求点P的坐标,若不存在,请说明理由
由抛物线C:y²=4x与直线y=2x+k,消去x得
y^-2y+2k=0,
△=4-8k,
|AB|=√（5△）=√15,
∴△=3,k=1/8,
y1,2=1土√3,
x1,2=1土√3/2,
设P(y^/4,y),△ABP的重心恰为抛物线C的焦点F(1,0),
<==>(x1+x2+y^/4)/3=1,(y1+y2+y)/3=0,
<==>2+y^/4=3,2+y=0,
<==>y=-2,
∴P(1,-2).