设函数f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=0,证明至少存在一点m属于(0,a)使得f(a)=(1+m)f'(m)ln(1+a)其中a>0 为常数

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 14:55:49
设函数f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=0,证明至少存在一点m属于(0,a)使得f(a)=(1+m)f''(m)ln(1+a)其中a>0为常数设函数f(x)在[0,a]上连续,

设函数f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=0,证明至少存在一点m属于(0,a)使得f(a)=(1+m)f'(m)ln(1+a)其中a>0 为常数
设函数f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=0,证明至少存在一点m属于(0,a)使得
f(a)=(1+m)f'(m)ln(1+a)
其中a>0 为常数

设函数f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=0,证明至少存在一点m属于(0,a)使得f(a)=(1+m)f'(m)ln(1+a)其中a>0 为常数
证明:设g(x)=ln(1+x),g'(x)=1/(1+x),则g'(m)=1/(1+m)
∵f(x),g(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且g'(x)≠0
∴由柯西中值定理得至少存在一点m属于(0,a)使得[f(a)-f(0)]/[g(a)-g(0)]=f'(m)/g'(m)
即f(a)=(1+m)f'(m)ln(1+a)