已知x1,x2是方程x²-2px-(6p+5)=0的两个实数根,问实数p为何值时,表达式x1²+x2²有最小值,并求出这个最小值

已知x1,x2是方程x²-2px-(6p+5)=0的两个实数根,问实数p为何值时,表达式x1²+x2²有最小值,并求出这个最小值
已知x1,x2是方程x²-2px-(6p+5)=0的两个实数根,问实数p为何值时,表达式x1²+x2²有最小值,并求出这个最小值

已知x1,x2是方程x²-2px-(6p+5)=0的两个实数根,问实数p为何值时,表达式x1²+x2²有最小值,并求出这个最小值
∵方程x²-2px-(6p+5)=0有两个实数根,
∴(-2p)²-4[-(6p+5)]≥0,即p²+6p+5≥0,解得p≤-5或p≥-1,
∵方程的两根x1、x2满足x1+x2=2p,x1x2=-(6p+5),
∴x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=4p²+12p+10=(2p+3)²+1,
设f(p)=(2p+3)²+1,则该函数在区间(-∞,-5]上单减,在区间[-1,+∞)上单增,
且f(-5)=50,f(-1)=2,
∴f(p)的最小值是2,即x1²+x2²的最小值是2.

∵x1,x2是方程x²-2px-(6p+5)=0的两个实数根,
∴Δ＝﹙﹣2p﹚²－4[-(6p+5)]＝4﹙p²＋6p＋5﹚≧0即p≦﹣5或p≧﹣1
x1＋x2＝2p，x1x2＝﹣(6p+5)
∴x1²+x2²＝﹙x1＋x2﹚²－2x1x2＝﹙2p﹚²＋2(6p+5)＝4﹙p²＋3p＋2.5﹚...

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∵x1,x2是方程x²-2px-(6p+5)=0的两个实数根,
∴Δ＝﹙﹣2p﹚²－4[-(6p+5)]＝4﹙p²＋6p＋5﹚≧0即p≦﹣5或p≧﹣1
x1＋x2＝2p，x1x2＝﹣(6p+5)
∴x1²+x2²＝﹙x1＋x2﹚²－2x1x2＝﹙2p﹚²＋2(6p+5)＝4﹙p²＋3p＋2.5﹚＝4﹙p＋1.5﹚²＋1≧1（仅当p＝﹣1.5时取等号）
∵抛物线y＝4﹙p＋1.5﹚²＋1的定义域为（﹣∞，﹣5]或[﹣1，＋∞﹚。
开口向上，对称轴为p=﹣1.5,
又∵|﹣5－﹙﹣1.5﹚|﹥|﹣1－﹙﹣1.5﹚|
∴抛物线y＝4﹙p＋1.5﹚²＋1﹙定义域为（﹣∞，﹣5]或[﹣1，＋∞﹚﹚的最小值为p＝﹣1时y＝4×0.5²＋1＝2

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