已知：a×√（1-b²)+b×√﹙1-a²﹚=1,求证a²+b²=1.

已知：a×√（1-b²)+b×√﹙1-a²﹚=1,求证a²+b²=1.
已知：a×√（1-b²)+b×√﹙1-a²﹚=1,求证a²+b²=1.

已知：a×√（1-b²)+b×√﹙1-a²﹚=1,求证a²+b²=1.
1楼的答案是错的
证明：
令M=a√(1-b²)+b√(1-a²),
易知：0≤a,b≤1,则根据柯西不等式有：
M≤√[(a²+b²)(1-b²+1-a²)]
=√[-(a²+b²-1)²+1]
所以：1≤√[-(a²+b²-1)²+1]
-(a²+b²-1)²+1≥1
而0≤a,b≤1,即：
0≤a²≤1,
0≤b²≤1,
0≤-(a²+b²-1)²+1≤1
综上：
-(a²+b²-1)²+1=1
即：a²+b²-1=0
所以：a²+b²=1

设a=sinx，b=siny
则化简后得sinxcosy+sinycosx=1
则sin（x+y）=1
x+y=90°
所以a^2+b^2=sinx^2+siny^2=sinx^2+cosx^2=1

移项后两边平方，去掉一个根号，合并再移项，把一个根号留一一边，另外的项留在另一边再一次平方，去掉根号，再移项，又可以配成一个(a^2+b^2-1)的平方，从而得出结果。具体过程，好么？a×√（1-b²)+b×√﹙1-a²﹚=1 a×√(1-b²)=1-b×√(1-a²) 两边平方得：a²(1-b²)=1-2b√(1-a²)+...

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移项后两边平方，去掉一个根号，合并再移项，把一个根号留一一边，另外的项留在另一边再一次平方，去掉根号，再移项，又可以配成一个(a^2+b^2-1)的平方，从而得出结果。

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a×√（1-b²)+b×√﹙1-a²﹚=1
a^2(1-b^2)+b^2(1-a^2)+2ab√（1-b²)(1-a)^2=1
a^2+b^2-2a^2b^2+2ab√（1-b²)(1-a)^2=1
2ab√（1-b²)(1-a)^2=1-a^2-b^2+2a^2b^2
4a^2b^2(1-b^2)(1-a^2)=(...

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a×√（1-b²)+b×√﹙1-a²﹚=1
a^2(1-b^2)+b^2(1-a^2)+2ab√（1-b²)(1-a)^2=1
a^2+b^2-2a^2b^2+2ab√（1-b²)(1-a)^2=1
2ab√（1-b²)(1-a)^2=1-a^2-b^2+2a^2b^2
4a^2b^2(1-b^2)(1-a^2)=(1-a^2-b^2)^2+4a^2b^2(1-a^2-b^2)+4a^4b^4
4a^2b^2(1-b^2)(1-a^2)=(1-a^2-b^2)^2+4a^2b^2[1-a^2-b^2+a^2b^2]
4a^2b^2(1-a^2-b^2+a^2b^2)=(1-a^2-b^2)^2+4a^2b^2(1-a^2-b^2+a^2b^2)
(1-a^2-b^2)^2=0
1-a^2-b^2=0
a^2+b^2=1
本命题得证。

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由题意：0≤a²≤1，0≤b²≤1，即|a|≤1,|b|≤1.
若a<0,则原式≤b×√﹙1-a²﹚≤√﹙1-a²﹚<1，与条件矛盾，
所以：0≤a,b≤1，
我们先证明一个基本不等式：
ab≤(a²+b²)/2（只有在a=b时，等号才能成立）
此不等式的证明简单，只要把上式两边同时乘以2，然后把2...

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由题意：0≤a²≤1，0≤b²≤1，即|a|≤1,|b|≤1.
若a<0,则原式≤b×√﹙1-a²﹚≤√﹙1-a²﹚<1，与条件矛盾，
所以：0≤a,b≤1，
我们先证明一个基本不等式：
ab≤(a²+b²)/2（只有在a=b时，等号才能成立）
此不等式的证明简单，只要把上式两边同时乘以2，然后把2ab移到右边，即可化为：
(a-b)²≥0，这是一个显然成立的式子，且只有在a=b时，等号才能成立。
利用给出的不等式，有：
a×√（1-b²)+b×√﹙1-a²﹚
≤(a²+1-b²)/2+(b²+1-a²)/2
=1.
由条件，上式只能取等号，因此，必须有：
a=√（1-b²)和b=√﹙1-a²﹚同时成立，
即a²=1-b²，b²=1-a²同时成立。
所以有：a²+b²=1

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首先根据已知可得 1-b²大于等于0 ，1-a²大于等于0 ，可得a,b均在大于等于-1，小于等于1之间
两边平方可得：a^2(1-b^2)+b^2(1-a^2)+2ab√（1-b²)(1-a²）=1
合并后可得： a^2+b^2-2a^b^+2ab√（1-b²)(1-a²）=1
根号里面的式子乘开合并后可得 ...

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首先根据已知可得 1-b²大于等于0 ，1-a²大于等于0 ，可得a,b均在大于等于-1，小于等于1之间
两边平方可得：a^2(1-b^2)+b^2(1-a^2)+2ab√（1-b²)(1-a²）=1
合并后可得： a^2+b^2-2a^b^+2ab√（1-b²)(1-a²）=1
根号里面的式子乘开合并后可得 2ab√1-a²-b²-a²b²=√1-（a²+b²+a²b²）
根据根数性质 可得1-（a²+b²+a²b²）大于等于0
也就是 a²+b²+a²b²小于等于1，故存在等于1的情况
再结合已知a,b均在大于等于-1，小于等于1之间
若令a²+b²+a²b²=1（上面已说存在等于1的情况）
只有啊a,b两个数 一个是0 一个是1的情况下 可以得出a²+b²+a²b²=1
故 a²+b²=1
最新方法
设：x=√﹙1-a²﹚
则 a=正负√﹙1-x²）
将a,x带入原式，可得
正负√﹙1-x²）×√（1-b²)+bx=1
正负√﹙1-x²）×√（1-b²)=1-bx
两边平方可得
﹙1-x²）×（1-b²)=（1-bx）²
1-x²-b²+b²x²=1-2bx+b²x²
消去同类项，得
x²+b²-2bx=0
(x-b)²=o
x=b
又因为x=√﹙1-a²﹚
所以√﹙1-a²﹚=b
l两边平方，移项 可得a²+b²=1
故a²+b²=1

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