求y=根号下x²+x+1的值域

求y=根号下x²+x+1的值域
求y=根号下x²+x+1的值域

求y=根号下x²+x+1的值域
x²+x+1=(x+1/2)²+3/4
最小值=3/4
y的值域[√3/2,∞)

y=√(x²+x+1)=√[(x+1/2)²+3/4]≥√3/2
即：原函数的值域是[√3/2,+∞)

y=√(x²+x+1)
=√[(x+1/2)²+3/4]
≥√3/2

y=根号下(x+1/2)^2+3/4,所以y>=3^0.5/2

M=x²＋x＋1=[x＋(1/2)]²＋(3/4)
因为：[x＋(1/2)]²≥0，则：
[x＋(1/2)]²＋(3/4)≥3/4
则：M=x²＋x＋1≥3/4
所以，y=√(x²＋x＋1)≥√(3/4)
则值域是：y∈[√3/2，＋∞)

用配方法 (x + 1/2 )^2 + 3/4 ∈ [ 3/4 , +无穷 )
所以y∈[√3/2，＋∞)

x²+x+1
=(x+1/2)²+3/4≥3/4
y≥√3/2
所以值域[√3/2,+∞)

无解，应为这道题的判别式小于0 所以无解

∵y=√（x²+x+1）
∴设t=x²+x+1 f（t）=√t
∴△<0 无根
∵t开口向上
∴求t最小值为4ac-b²/4a=3/4
∴t∈[3/4，+∞）
∴y=f(t)∈[√(3/4)，+∞）
∴y∈[(√3)/2，+∞）
点评：这是一个复合函数， [3/4，+∞）是内函数的值域，也就是...

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∵y=√（x²+x+1）
∴设t=x²+x+1 f（t）=√t
∴△<0 无根
∵t开口向上
∴求t最小值为4ac-b²/4a=3/4
∴t∈[3/4，+∞）
∴y=f(t)∈[√(3/4)，+∞）
∴y∈[(√3)/2，+∞）
点评：这是一个复合函数， [3/4，+∞）是内函数的值域，也就是外函数的定义域，根据外函数的定义域求出复合函数值域即可。
我这个是标准解答，高考的时候这样答绝对满分。

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