如图,在等边三角形ABC中,点M、N分别在AC、BC上,且AM=CN,BM与AN相交于点E,BD⊥AN交AN于点D.求证：BE=2DE.

如图,在等边三角形ABC中,点M、N分别在AC、BC上,且AM=CN,BM与AN相交于点E,BD⊥AN交AN于点D.求证：BE=2DE.
如图,在等边三角形ABC中,点M、N分别在AC、BC上,且AM=CN,BM与AN相交于点E,BD⊥AN交AN于点D.求证：BE=2DE.

如图,在等边三角形ABC中,点M、N分别在AC、BC上,且AM=CN,BM与AN相交于点E,BD⊥AN交AN于点D.求证：BE=2DE.
证明：
∵⊿ABC是等边三角形
∴AB=AC,∠BAC=∠C=60º
又∵AM=CN
∴⊿BAM≌⊿ACN（SAS）
∴∠ABM=∠CAN
在⊿BAM和⊿AEM中
∵∠BMA =∠AME,∠ABM=∠EAM
∴⊿BAM∽⊿AEM
∴∠AEM=∠BAM=60º
∴∠BED=60º【对顶角】
∵BD⊥AN
∴⊿BDE是直角三角形
∴∠EBD=90º-60º=30º
根据直角三角形30º角所对的边等于斜边的一半
∴BE=2DE