过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB,已知|FA|,|FB|,|AB|成等差数列,求AB所在的直线方程

过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB,已知|FA|,|FB|,|AB|成等差数列,求AB所在的直线方程
过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB,已知|FA|,|FB|,|AB|成等差数列,求AB所在的直线方程

过抛物线y^2=2px的焦点F的弦AB,已知|FA|,|FB|,|AB|成等差数列,求AB所在的直线方程
焦点F(p/2,0)
设FA=a.FB=b
则AB=a+b
则2b=a+a+b
b=2a
过AB分别向x轴做垂线
则由相似三角形可知,AB的纵坐标的绝对值也是1：2
设A的纵坐标是m,(m>0)
则A(m^2/2p,m)
则B的纵坐标是-2m,(m>0)
则A(4m^2/2p,-2m)
AFB在一直线
F(p/2,0)
斜率=(m-0)/(m^2/2p-p/2)=(-2m-0)/(4m^2/2p-p/2)
m^2=p^2/2
假定p>0
则m=√2p/2
所以斜率=-2√2
显然这样的直线有两条
关于x轴对称,所以另一条斜率=2√2
所以y=±2√2(x-p/2)

∵FA+AB=2FB
∴FA+FA+FB=2FB
∴FB=2FA
∴根据题意，可以设A(2pt²,2pt),则B(8pt²,-4pt)
∵抛物线的焦点F(p/2,0)
∴向量FA=(2pt²-p/2,2pt),向量FB=(8pt²-p/2,-4pt)
根据两个向量共线，得
(2pt²-p/2)...

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∵FA+AB=2FB
∴FA+FA+FB=2FB
∴FB=2FA
∴根据题意，可以设A(2pt²,2pt),则B(8pt²,-4pt)
∵抛物线的焦点F(p/2,0)
∴向量FA=(2pt²-p/2,2pt),向量FB=(8pt²-p/2,-4pt)
根据两个向量共线，得
(2pt²-p/2)*(-4pt)=(8pt²-p/2)*(2pt)
即(2t²-1/2)*(-2)=8t²-1/2
解得t²=1/8
∴斜率k=(2pt+4pt)/(2pt²-8pt²)=-1/t=±2√2
又∵AB过焦点F(p/2,0)
∴直线AB的方程是：
y=±2√2(x-p/2)
谢谢！

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