已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点．（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；（2）若M是线段CD上一动点,试判断三棱锥M-EFG的体积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 10:22:21
已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点．（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；（2）若M是线段CD上一动点,试判断三棱锥M-EFG的体积
已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点．
（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；
（2）若M是线段CD上一动点,试判断三棱锥M-EFG的体积是否为定值,若是,求出该三棱锥的体积；若不是,请说明理由．
只要（2）的过程（1）可以不用回答
已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点．（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；（2）若M是线段CD上一动点,试判断三棱锥M-EFG的体积
分析：（I）由题意AD⊥CD,PD⊥CD,可得CD⊥平面PAD,因为EF∥CD,证明EF⊥平面PAD,
（II）CD∥EF,所以CD∥平面EFG,故CD上的点M到平面EFG的距离等于D到平面EFG的距离,利用公式VM-EFG=VD-EFG,
（I）证明：∵AD⊥CD,PD⊥CD,
∴CD⊥平面PAD,
∵EF∥CD,
∴EF⊥平面PAD,
∵EF⊂平面EFG,
∴平面EFG⊥平面PAD；
（II）∵CD∥EF,
∴CD∥平面EFG,
故CD上的点M到平面EFG的距离
等于D到平面EFG的距离,
∴VM-EFG=VD-EFG,
S△EFG=1/2×EF×EH=2,平面EFGH⊥平面PBD于EH,
∴D到平面EFG的距离即三角形EHD的高,等于√3
∴VM-EFG=2√3/3．
点评：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的判断,此类问题一般先证明两个面平行,再证直线和面平行,这种做题思想要记住,此类立体几何题是每年高考必考的一道大题,同学们要课下要多练习．
∵CD∥EF
∴CD∥GEF
∴V-GFEM=V-GFEC=（1/3）［2*2*(1/2)*］*［2*（根号3）*（1/2）］都这步了，就自己算了吧
看看(1)可以这样证不?
取AD中点N,连接EN,GN,因FE//CD,GN//CD,所以FE//GN,故,平面FEG与平面FENG同面,
因平面PAD垂直平面ABCD,三角形PAD为正三角形,ABCD为正方形,AD为交线,所以GN垂直PN,
直角GNP为二面角平面角,GN垂直平面PAD,GC属于平面EFNG,所以平面FENG垂直平面PAD,
所以平面EFG垂直平面...
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看看(1)可以这样证不?
取AD中点N,连接EN,GN,因FE//CD,GN//CD,所以FE//GN,故,平面FEG与平面FENG同面,
因平面PAD垂直平面ABCD,三角形PAD为正三角形,ABCD为正方形,AD为交线,所以GN垂直PN,
直角GNP为二面角平面角,GN垂直平面PAD,GC属于平面EFNG,所以平面FENG垂直平面PAD,
所以平面EFG垂直平面PAD,
(2)是个定值,,因EF//CD,且CD//平面EFG,M到EF的距离不变.
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