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英语名词：logarithms.如果a^b=n,那么log(a)(n)=b.其中,a叫做“底数”,n叫做“真数”,b叫做“以a为底的n的对数”.log(a)(n)函数叫做对数函数.对数函数中n的定义域是n>0,零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1.
对数是中学初等数学中的重要内容,那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上,一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier,1550-1617年）男爵.　　在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于独立发明了对数.当然,纳皮尔所发明的对数,在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样.在纳皮尔那个时代,“指数”这个概念还尚未形成,因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样,通过指数来引出对数,而是通过研究直线运动得出对数概念的.那么,当时纳皮尔所发明的对数运算,是怎么一回事呢?在那个时代,计算多位数之间的乘积,还是十分复杂的运算,因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：n 0、1、2、3、 4、 5、 6、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 、…… 2^n 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、…… 这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数,第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积,可以通过第一行对应数字的加和来实现.比如,计算64×256的值,就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6+8=14；第一行中的14,对应第二行中的16384,所以有：64×256=16384.纳皮尔的这种计算方法,实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了.　　回忆一下,我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候,采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积,先查《常用对数表》,找到这两个复杂数的常用对数,再把这两个常用对数值相加,再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值,就是原先那两个复杂数的乘积了.这种“化乘除为加减”,从而达到简化计算的思路,不正是对数运算的明显特征吗?经过多年的探索,纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》,向世人公布了他的这项发明,并且解释了这项发明的特点.所以,纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”,理应在数学史上享有这份殊荣.伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中,曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace,1749-1827）曾说对数可以缩短计算时间,“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.
对数的性质及推导
　　定义：若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 　　基本性质：　　1、a^(log(a)(b))=b 　　2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 　　3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 　　4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 　　5、log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M) 　　推导：　　1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b.　　2、令log(a)(MN)=b,则有a^b=MN； 　　令log(a)(M)=c,log(a)(N)=d,则有a^c=M,a^d=N； 　　(a^c)*(a^d)=a^(c+d)=MN=a^b； 　　则c+d=b； 　　推出log(a)(M)+log(a)(N)=log(a)(MN).　　3、令log(a)(M÷N)=b,则有a^b=M÷N； 　　令log(a)(M)=c,log(a)(N)=d,则有a^c=M,a^d=N； 　　(a^c)÷(a^d)=a^(c-d)=M÷N=a^b； 　　则c-d=b； 　　推出log(a)(M)-log(a)(N) =log(a)(M÷N).　　4、令log(a)(M^n)=b,则有a^b=M^n； 令log(a)(M)=c,则有a^c=M； 　　a^b=M^n=(a^c)^n=a^(cn) 　　b=cn； 　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M).　　5、令log(a^n)(M)=b,则(a^n)^b=M,a^(nb)=M； 　　令log(a)(M)=c,则a^c=M； 　　a^c=M=a^(nb),则c=nb； 　　log(a)(M)=nlog(a^n)(M)； 　　log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M).
没有in ig,你说的应该是ln lg
ln
以常数e为底数的对数叫做自然对数,记作ln N(N>0).
第二定义
　　它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值
自然对数的底数e是由一个重要极限给出的.我们定义：当x→∞时,lim(1+1/x)^x=e.　　e是一个无限不循环小数,其值约等于2.718281828…,它是一个超越数.
lg 以10为底数的对数函数

定义：y=logaX(a>0且a≠1) 以下为图像

LogaA+LogaB=loga(A*B)

LogaA-LogaB=loga(A/B)

LogaAx =x*logaA

Log10A＝lgA

LogeA＝lnA

一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=log(a)X,(其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数 它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
对数的公理化定义
　　真数式子没根号那...

全部展开

一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=log(a)X,(其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数 它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
对数的公理化定义
　　真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零，
　　底数则要大于0且不为1
　　对数函数的底数为什么要大于0且不为1？
　　【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0，那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于4，另一个等于-4）】
　　通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm),并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
　　当a 〉0，a≠ 1时，a^x=N→X=logaN。
　　由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
　　负数和零没有对数
　　loga 1=0 log以a为底a的对数为1(a为常数)
编辑本段
对数的定义和运算性质
　　一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
　　底数则要>0且≠1 真数>0
对数的运算性质
　　当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：
　　（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
　　（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
　　（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）
　　(4)log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)(n∈R)
　　（5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）
　　(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明：
　　设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)
　　(7)对数恒等式：a^log（a)N=N;
　　log（a）a^b=b
　　（8）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)
　　1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M
　　2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M
　　3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M
　　4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M ,
　　log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M
　　5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1
对数与指数之间的关系
　　当a>0且a≠1时，a^x=N x=㏒(a)N
编辑本段
对数函数
　　对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
　　（1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
　　（2） 对数函数的值域为全部实数集合。
　　（3） 函数图像总是通过（1，0）点。
　　（4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。
　　（5） 显然对数函数无界。
　　对数函数的常用简略表达方式：
　　（1）log(a)(b)=log(a)(b)
　　（2）lg(b)=log(10)(b)
　　（3）ln(b)=log(e)(b)
　　对数函数的运算性质：
　　如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：
　　（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
　　（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
　　（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n属于R）
　　（4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R）
　　对数与指数之间的关系
　　当a大于0,a不等于1时，a的X次方=N等价于log(a)N=x
　　log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R）
　　换底公式 （很重要）
　　log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga
　　ln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数(约为2.718281828454590)
　　lg 常用对数 以10为底
编辑本段
常用简略表达方式
　　（1）常用对数：lg(b)=log(10)(b)
　　（2）自然对数:ln(b)=log(e)(b)
　　e=2.718281828454590...　通常情况下只取e=2.71828　对数函数的定义
　　对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 关于y轴对称、
　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
编辑本段
性质
　　定义域求对数函数y=loga x 的定义域是{x ︳x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意真数大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需满足{x>0且x≠1} 。
　　{2x-1>0 ，x>1/2且x≠1}，即其定义域为 {x ︳x>1/2且x≠1}值域：实数集R
　　定点：函数图像恒过定点（1，0）。
　　单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸
　　 0　　奇偶性：非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。
　　周期性：不是周期函数
　　零点：x=1
　　注意：负数和0没有对数。
　　两句经典话：底真同对数正
　　底真异对数负。
　　指数函数的求导:
　　e的定义：e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...设a>0,a!=1----(log a(x))'=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))=1/x*log a(e)特殊地，当a=e时，(log a(x))'=(ln x)'=1/x。----设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
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历史
　　16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。
　　德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。
　　欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
　　纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为
　　Nap．㏒x=10㏑(107/x)
　　由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。
　　瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
　　英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。
　　1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。
　　对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
　　最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫「真数」，0.3010叫做「假数」，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。
　　我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905） 看到这些著作后，大为叹服。
　　当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年 ，J．威廉（1675-1749）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和现在教科书中的提法一致。

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一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=log(a)X,(其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数 它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
对数的公理化定义~~~~~~~~~...

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一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=log(a)X,(其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数 它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
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y=logaX(a>0且a≠1) 定义：当01时，y过x轴点1逐渐递增。

LogaA+LogaB=loga(A*B)
LogaA-LogaB=loga(A/B)
LogaAx =x*logaA
Log10A＝lgA
LogeA＝lnA

Log对数,一种特殊函数,Y=LogaX,a不等于1'0,X>0.如Log10即lg

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