已知在三角形abc中,D,E分别在BC.AB上,且角B=角CAD=角EDA,若三角形ABC.三角形ADC.三角形EBD的周长·分别为m.n.p.求证（n+p）／m≤5／4
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/24 02:14:18
已知在三角形abc中,D,E分别在BC.AB上,且角B=角CAD=角EDA,若三角形ABC.三角形ADC.三角形EBD的周长·分别为m.n.p.求证（n+p）／m≤5／4
已知在三角形abc中,D,E分别在BC.AB上,且角B=角CAD=角EDA,若三角形ABC.三角形ADC.三角形EBD的周长·分别为m.n.p.求证（n+p）／m≤5／4
已知在三角形abc中,D,E分别在BC.AB上,且角B=角CAD=角EDA,若三角形ABC.三角形ADC.三角形EBD的周长·分别为m.n.p.求证（n+p）／m≤5／4
证明：在△CAD和△ABC中
∠C=∠C,∠CAD=∠B
所以△CAD∽△ABC
CD：AC=AC：BC
∠EDA=∠CAD,所以DE∥AC
简单有△EBD∽△ABC
设△CAD和△ABC的相似比为X：1
则CD：AC=AC：BC=X：1,且C△CAD=XC△ABC（C表示周长）
CD：BC=X²：1,CD=X²BC
因为BD=BC-CD=（1-X²）BC
因此BD：BC=1-X²
因为BD：BC就是△EBD和△ABC的相似比,所以C△EBD=（1-X²）C△ABC
因此n+p=(1-X²+X)m
(n+p)/m=-X²+X+1
根据二次函数取最大值的解法
当X=-1/(-1×2)=1/2时,比值有最大值,
代入X=1/2,最大值为5/4
所以,(n+p)/m≤5/4
由角B=角CAD可得 三角形BCA和三角形ACD相似 则BC/AC=BA/AD=CA/CD
由角B=角EDA可得 三角形BAD和三角形DAE相似 则BA/DA=BD/DE=AD/AE
上述两个等式也相等，将此等式设为1/t ，ABC三边分设abc，则可得
b=at,AD=ct,CD=bt,DE=at-bt2（平方）,AE=ct2（平方）
于是AD+DE-AE=c...
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由角B=角CAD可得 三角形BCA和三角形ACD相似 则BC/AC=BA/AD=CA/CD
由角B=角EDA可得 三角形BAD和三角形DAE相似 则BA/DA=BD/DE=AD/AE
上述两个等式也相等，将此等式设为1/t ，ABC三边分设abc，则可得
b=at,AD=ct,CD=bt,DE=at-bt2（平方）,AE=ct2（平方）
于是AD+DE-AE=ct+at-bt2-ct2
=(m-a-b)t+at-bt2-(m-a-b)t2
=mt-mt2
=mt(1-t)≤m((t+1-t)/2)2（平方）即m/4
所以n+p=AD+b+a+EB+ED=(a+b+c)+(AD+DE-AE)
≤m+m/4
两边除以m即得（n+p）/m≤5/4
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初一，初二or初三？