已知函数f(x)=x^3-3x,设a大于0,如果过点P(a,b)可作曲线y=f(x)得三条切线,证明-a小于b小于f(a)

已知函数f(x)=x^3-3x,设a大于0,如果过点P(a,b)可作曲线y=f(x)得三条切线,证明-a小于b小于f(a)
已知函数f(x)=x^3-3x,设a大于0,如果过点P(a,b)可作曲线y=f(x)得三条切线,证明-a小于b小于f(a)

已知函数f(x)=x^3-3x,设a大于0,如果过点P(a,b)可作曲线y=f(x)得三条切线,证明-a小于b小于f(a)
设过点P(a,b)的切线与曲结切于点(t,t^3-3t).
则切线斜率为(t^3-3t-b)/(t-a).
f'(x)=3x^3-3
则f(x)在点(t,t^3-3t)处的切线斜率为f'(t)=3t^2-3
所以,(t^3-3t-b)/(t-a)=3t^2-3.
整理得：2t^3-3at^2+3a+b=0.
设h(t)=2t^3-3at^2+3a+b
由题意知,函数h(t)有三个不同的零点.
h'(t)=6t^2-6at=6t(t-a)(a>0)
则h(t)的极大值为h(0)=3a+b、极小值为h(a)=-a^3+3a+b=-f(a)+b
若函数h(t)有三个不同的零点,则h(0)=3a+b>0且h(a)=-f(a)+b