设函数f（x）在闭区间[0 a]上连续,在（0 a）内可导,且f（0,a）=0,证明：在（0,a）内至少存在一点s,使f（s）＋sf’（s）＝0 更正 ：且f（0 a）=0改为 f（a）=0

设函数f（x）在闭区间[0 a]上连续,在（0 a）内可导,且f（0,a）=0,证明：在（0,a）内至少存在一点s,使f（s）＋sf’（s）＝0 更正 ：且f（0 a）=0改为 f（a）=0
设函数f（x）在闭区间[0 a]上连续,在（0 a）内可导,且f（0,a）=0,
证明：在（0,a）内至少存在一点s,使f（s）＋sf’（s）＝0
更正 ：且f（0 a）=0改为 f（a）=0

设函数f（x）在闭区间[0 a]上连续,在（0 a）内可导,且f（0,a）=0,证明：在（0,a）内至少存在一点s,使f（s）＋sf’（s）＝0 更正 ：且f（0 a）=0改为 f（a）=0
思路：看到题目的模样,有两个联想
1.( sf(s) )' = 0,
2.罗尔定理.
证明：
构造函数g(x) = xf(x),易知g'(x) = f(x) + xf'(x)
由题知,g(x)在[0,a]上连续,在(0,a)可导,而且
g(0) = g(a) = 0
于是,由罗尔定理,在(0,a)内至少存在一点s,使g'(s) = 0
证毕.

设F(x)=x*f(x)
F(0)=0且F（a）=0,
运用罗尔定理
对F（x）求导即F‘（x）=0；
F(x)=f(x)+xf'(x)=0
证毕

令F(x)=xf(x)，则F(x)在闭区间[0 a]上连续，在(0，a）内可导，且F（0)=F(a）=0，根据罗尔定理，在（0，a）内至少存在一点s，使F'(S)=0。而F'(S)=f（s）＋sf’（s）。证毕