已知函数f(x)=x³+bx²+cx+d在(0,+无穷)上是增函数,在[-1,0]上是减函数,且x=-1是方程f(x)= 0的一个根.1） 求c的值.2） 求证f(0)≤－1/2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 10:28:39
已知函数f(x)=x³+bx²+cx+d在(0,+无穷)上是增函数,在[-1,0]上是减函数,且x=-1是方程f(x)= 0的一个根.1） 求c的值.2） 求证f(0)≤－1/2
已知函数f(x)=x³+bx²+cx+d在(0,+无穷)上是增函数,在[-1,0]上是减函数,且x=-1是方程f(x)= 0的一个根.
1） 求c的值.
2） 求证f(0)≤－1/2
已知函数f(x)=x³+bx²+cx+d在(0,+无穷)上是增函数,在[-1,0]上是减函数,且x=-1是方程f(x)= 0的一个根.1） 求c的值.2） 求证f(0)≤－1/2
(1)f(x)=x³+bx²+cx+d.求导得：f′(x)=3x²+2bx+c.由题设可知,当x＞0时,f′(x)≥0,当-1≤x≤0时,f′(x)≤0,故f′(0)=0.即c=0.此时,f(x)=x³+bx²+d,f′(x)=3x²+2bx.(2).因在[-1,0]上,函数f(x)递减,故f′(x)≤0,(-1≤x≤0).故f′(-1)=3-2b≤0,===>b≥3/2.又x=-1是方程f(x)=0的一个根,故f(-1)=0,===>b+d-1=0.===>b=1-d.b≥3/2.===>1-d≥3/2.===>d≤-1/2.显然,f(0)=d,故f(0)≤-1/2.证毕!
1:C=0;
由增减性质在0处改变，则函数导数在0点为0；
3X^2+2bX+c=0当X=0时成立。C=0；
2;证：f(-1)=0,代入得b+d=1;（1）
又导函数G(x)=3X^2+2bX=3(x+b/3）^2-b^2/3.
解得当x=0或x=-2b/3时，G(x)=0.
所以0，-2b/3是两个增减性质改变点。
但函数在[-1,0]递...
全部展开
1:C=0;
由增减性质在0处改变，则函数导数在0点为0；
3X^2+2bX+c=0当X=0时成立。C=0；
2;证：f(-1)=0,代入得b+d=1;（1）
又导函数G(x)=3X^2+2bX=3(x+b/3）^2-b^2/3.
解得当x=0或x=-2b/3时，G(x)=0.
所以0，-2b/3是两个增减性质改变点。
但函数在[-1,0]递减，[0,..]递增，所以x=-2b/3在区间[-1,0]外，
或在-1点。
即-2b/3<=-1,b>=3/2.
代入（1）得
d <= -1/2.
所以f(0) = d <= -1/2.
收起
第一步，先求导 第二步，把x=-1带入你所求的导函数，令它等于零。就求出了c的值！