f(x)=ax^2+bx+c a.b.c均为正实数,且f(1)=1,1.x>0,求证:f(x)f(1/x)≥1 2.若x1x2x3=1,且都大于0,求证：f(x1)f(x2)f(x3)≥1 主要是第2问,第一问很简单,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 12:20:08
f(x)=ax^2+bx+c a.b.c均为正实数,且f(1)=1,1.x>0,求证:f(x)f(1/x)≥1 2.若x1x2x3=1,且都大于0,求证：f(x1)f(x2)f(x3)≥1 主要是第2问,第一问很简单,
f(x)=ax^2+bx+c a.b.c均为正实数,且f(1)=1,
1.x>0,求证:f(x)f(1/x)≥1
2.若x1x2x3=1,且都大于0,求证：f(x1)f(x2)f(x3)≥1
主要是第2问,第一问很简单,
f(x)=ax^2+bx+c a.b.c均为正实数,且f(1)=1,1.x>0,求证:f(x)f(1/x)≥1 2.若x1x2x3=1,且都大于0,求证：f(x1)f(x2)f(x3)≥1 主要是第2问,第一问很简单,
1.由于a,b,c均为正实数,且x>0,那么我们知道ax^2、bx、c都是正数.
且由f(1)=1可得a+b+c=1
对于第一问,既然楼主已知,那么就不在赘述,用柯西不等式即可.
由柯西不等式：f(x)f(1/x)=(ax^2+bx+c)(a/x^2+b/x+c)>=(a+b+c)^2=1
也即f(x)f(1/x)>=1证毕.
对于第二问,可利用x1x2x3=1,用三次柯西不等式解决.因为f(1)=1,那么
f(x1)f(x2)f(x3)=f(1)f(x1)f(x2)f(x3)=(a+b+c)(ax1^2+bx1+c)(ax2^2+bx2+c)(ax3^2+bx3+c)
由柯西不等式有：(a+b+c)(ax3^2+bx3+c)>=(ax3+b√x3+c)^2
(ax1^2+bx1+c)(ax2^2+bx2+c)>=(ax1x2+b√(x1x2)+c)^2
上两式相乘有
f(x1)f(x2)f(x3)>=(ax3+b√x3+c)^2(ax1x2+b√(x1x2)+c)^2=(ax3+b√x3+c)^2(a/x3+b/√(x3)+c)^2,再由柯西不等式：(ax3+b√x3+c)(a/x3+b/√(x3)+c)>=(a+b+c)^2=1
于是f(x1)f(x2)f(x3)>=1^2=1成立.
证毕.
证f(x2)f(x3)>=f(x2x3)即可
第二问可以转化成第一问，X2X3=1/X1,X1X2=1/X3,X1X3=1/X2