已知椭圆x^/a^+y^/b^=1,F1,F2分别是它的左右焦点,如果在椭圆上存在一点M(X0,Y0)使角F1MF2为六十度.求离心取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 17:40:03
已知椭圆x^/a^+y^/b^=1,F1,F2分别是它的左右焦点,如果在椭圆上存在一点M(X0,Y0)使角F1MF2为六十度.求离心取值范围
已知椭圆x^/a^+y^/b^=1,F1,F2分别是它的左右焦点,如果在椭圆上存在一点M(X0,Y0)使角F1MF2为六十度.求离心
取值范围
已知椭圆x^/a^+y^/b^=1,F1,F2分别是它的左右焦点,如果在椭圆上存在一点M(X0,Y0)使角F1MF2为六十度.求离心取值范围
知道一个知识点,本题轻松搞定.椭圆短轴的端点与两焦点成的角（即∠F1BF2)最大.
本题中,易知∠F1BF2≥60°,所以 cos∠F1BF2≤1/2
在三角形F1BF2中,|F1B|=|F2B|=a,|F1F2|=2c,
由余弦定理,|F1F2|²=|BF1|²+|BF2|²-2|BF1|•|BF2|∠F1BF2,得
4c²=2a²-2a²cos∠F1BF2
cos∠F1BF2=(a²-2c²)/a²≤1/2,所以c²/a²≥1/2,√2/2≤e
0.5 ≤e<1求过程 最好详细点思路大概是这样的，在椭圆上，当M点在短轴端点B点时，∠F1MF2最大，当∠F1MF2为60°时，OF1=c,F1M=a,c与a的夹角为六十度，所以此时e=0.5，又因为椭圆的形状越扁，e越趋近与1，∠F1BF2就越大。在两侧就存在有任意M使∠F1MF2=60°了。...
全部展开
0.5 ≤e<1
收起
M点坐标为(x0,y0),
|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0,
cos60=1/2=(|MF1|²+|MF2|²-4c²)/(2|MF1|·|MF2|),
x0²=(4c²-a²)/3e²
,x0属于(-a,a),x0²属于[0,a²)
(4c²-a²)/3e²属于[0,a²),
e大于等于1/2,又因为e属于(0,1)
所以e的范围是[1/2,1)