求大虾证：〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕,其中N为正整数.即要证明正整数的（和的平方）等于正整数的（立方和）.

求大虾证：〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕,其中N为正整数.即要证明正整数的（和的平方）等于正整数的（立方和）.
求大虾证：〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕,其中N为正整数.
即要证明正整数的（和的平方）等于正整数的（立方和）.

求大虾证：〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕,其中N为正整数.即要证明正整数的（和的平方）等于正整数的（立方和）.
根据
(A+B)^2=A^2+B^2+2AB
以及
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕=N*(1+N)/2=(N+N^2)/2
可进行以下推导：
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*〔2+3+4+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*2*〔3+4+5+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*3*〔4+5+6+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+…
+2*(N-3)* 〔(N-2) +(N-1)+N〕
+2*(N-2) *〔(N-1)+N〕
+2*(N-1)*N
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-1｝
+2*2*｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-(1+2)｝
+2*3*｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕-(1+2+3)｝
+…
+2*(N-3) *｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-5)+(N-4)+(N-3)〕｝
+2*(N-2) *｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-4)+(N-3)+(N-2)〕｝
+2*(N-1)* ｛〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕–〔(1+2+3 +…+(N-3)+(N-2)+(N-1)〕｝
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*1*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*3*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+…
+2*(N-3) *〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*(N-2) *〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
+2*(N-1)* 〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
－2*1*1
－2*2*(1+2)
－2*3(1+2+3)
－…
－2*(N-3) *〔(1+2+3 +…+(N-5)+(N-4)+(N-3) 〕
－2*(N-2) *〔(1+2+3 +…+(N-4)+(N-3)+(N-2)〕
－2*(N-1)* 〔(1+2+3 +…+(N-3)+(N-2)+(N-1)〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)〕
－2*1*〔1+1^2/2〕－2*2*〔2+2^2/2〕－2*3*〔3+3^2/2〕
－…
－2*(N-3) *〔(N-3)+(N-3) ^2/2〕
－2*(N-2) *〔(N-2)+(N-2) ^2/2〕
－2*(N-1) *〔(N-1)*+(N-1) ^2/2〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2－2*N*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕
－(1^2+1^3) －(2^2+2^3) －(3^2+3^3)
－…
－〔(N-3) ^2+(N-3) ^3〕－〔(N-2) ^2+(N-2) ^3〕－〔(N-1) ^2+(N-1) ^3〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2－(N^2+N^3)
－〔1^2+2^2+3^2+…+(N-3) ^2+(N-2) ^2+(N-1) ^2〕
－〔1^3+2^3+3^3+…+(N-3) ^3+(N-2) ^3+(N-1) ^3〕
=
1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N^2
+2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2
－〔1^2+2^2+3^2+…+(N-2) ^2+(N-1) ^2+N ^2〕
－〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
=
2*〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2－〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕
由上可知：
〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=〔1^3+2^3+3^3+…+(N-2) ^3+(N-1) ^3+N ^3〕

可以证出来的，我的方法是数学归纳法。不要说没学过。

证明：要证〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=[n(n+1)/2]^2
只需证：1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
因n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
...

全部展开

证明：要证〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=[n(n+1)/2]^2
只需证：1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
因n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
则：2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式左右分别相加 得：
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

收起

因为：〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=[n(n+1)/2]^2
只需证：1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
证法：
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-...

全部展开

因为：〔1+2+3+…+(N-2)+(N-1)+N〕^2=[n(n+1)/2]^2
只需证：1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
证法：
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

收起