如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥底面ABCD第二小题 不用 向量 的方法 不用向量!
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 15:45:11
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥底面ABCD第二小题 不用 向量 的方法 不用向量!
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥底面ABCD
第二小题 不用 向量 的方法 不用向量!
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥底面ABCD第二小题 不用 向量 的方法 不用向量!
(1)∵四边形ABCD是正方形,E,F分别为BC,AD的中点
∴DF=BE,DF∥BE
∴四边形BEDF是平行四边形
∴DE∥BF
∴异面直线PB和DE所成的角为∠PBF
∵BC⊥CD,PD⊥BC,PD与CD相交
∴BC⊥面PCD
∴BC⊥PC
根据线段的关系可以算出
PF=√2,BF=√5,PB=3
在△PBF中,根据余弦定理算得
∠PBF=arccos2√5/5
(2)如上图,连接BD,取PB的中点G,BD的中点H,连接GH,过H点做HI⊥BF交BF于I点,连接GI
∵G,H分别是BD,PB的中点
∴GH是△PDB的中位线
∴GH∥PD,PD=2GH
∴GH⊥面ABCD
∴GH⊥BF,GH⊥BD
∵HI⊥BF,GH和HI相交
∴BF⊥面GHI
∴BF⊥GI
∴∠GIH是面PFB和面ABCD所夹的二面角
BH=√2
根据正弦定理
BF/sin45°=DF/sin∠DBF→ sin∠DBF=√10/10
HI=BH*sin∠DBF=√5/5
∵cos∠GIH=√6/6
∴tan²∠GIH=1/cos²∠GIH-1=5→ tan∠GIH=√5
∴GH=HI*tan∠GIH=(√5/5)*√5=1
∴PD=2GH=2
∴四凌锥P-ABCD的体积=PD*正方形ABCD的面积/3=2*2*2/3=8/3