圆锥曲线题如图,一直椭圆x2/a2+y2/b2=1的左右焦点为f1,f2,点p为椭圆上动点,弦PA,PB分别过点f1.f2,设PF1向量=β1 F1A向量,PF2向量=β2 F2B 求证;β1+β2为定值

圆锥曲线题如图,一直椭圆x2/a2+y2/b2=1的左右焦点为f1,f2,点p为椭圆上动点,弦PA,PB分别过点f1.f2,设PF1向量=β1 F1A向量,PF2向量=β2 F2B 求证;β1+β2为定值
圆锥曲线题
如图,一直椭圆x2/a2+y2/b2=1的左右焦点为f1,f2,点p为椭圆上动点,弦PA,PB分别过点f1.f2,设PF1向量=β1 F1A向量,PF2向量=β2 F2B 求证;β1+β2为定值

圆锥曲线题如图,一直椭圆x2/a2+y2/b2=1的左右焦点为f1,f2,点p为椭圆上动点,弦PA,PB分别过点f1.f2,设PF1向量=β1 F1A向量,PF2向量=β2 F2B 求证;β1+β2为定值

∵向量PF1与向量F1A同向,∴有β1=|PF1|/|F1A|>0

同理,有 β2=|PF2|/|F2B|>0

=> |F1A|=|PF1|/β1, |F2B|=|PF2|/β2, 

下面用椭圆及其准线、离心率的定义证明

如图,对于椭圆,有 e=c/a=|PF1|/|PC|=|F1A|/|AG|

=> |PC|=|PF1|/e, |AG|=|F1A|/e

又|EF1|=a^2/c-c=a/e-c为定值,

对梯形PCGA用相似三角形关系,有如下关系：

β1=|PF1|/|F1A|=(|PC|-|EF1|)/(|EF1|-|AG|)

=[|PF1|/e-(a^2/c-c)]/[(a^2/c-c)-|F1A|/e]

=[|PF1|/e-(a/e-c)]/[(a/e-c)-|PF1|/(eβ1)]

整理得 (a/e-c)β1=2|PF1|/e-(a/e-c)

即 β1=2|PF1|/(a-ec)-1                 (1)

同理,对梯形PDHB有

     β2=2|PF2|/(a-ec)-1                 (2)

两式相加,得

   β1+β2=2(|PF1|+|PF2|)/(a-ec)-2

对于椭圆上点P,由定义有 |PF1|+|PF2|=2a

∴ β1+β2=2*2a/(a-ec)-2=2(a+ec)/(a-ec)

即 β1+β2=2(1+e^2)/(1-e^2)

对于给定椭圆,e为定值,∴β1+β2为定值

自己先作图，然后套公式