与抛物线y=x^2围成面积为4/3的直线与该抛物线交于A和B两点,则AB中点P的轨迹是什么

与抛物线y=x^2围成面积为4/3的直线与该抛物线交于A和B两点,则AB中点P的轨迹是什么
与抛物线y=x^2围成面积为4/3的直线与该抛物线交于A和B两点,则AB中点P的轨迹是什么

与抛物线y=x^2围成面积为4/3的直线与该抛物线交于A和B两点,则AB中点P的轨迹是什么
设点A在点B的左侧,且A、B的坐标分别是（a,a^2）、（b,b^2）.显然有：b＞a.
分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别是C、D.
则｜AC｜＝a^2、｜BD｜＝b^2、｜CD｜＝b－a.
∴S(梯形ABCD)＝（1/2）（｜AC｜＋｜BD｜）｜CD｜＝（1/2）（a^2＋b^2）（b－a）.
显然有：
S(曲边形ABCD)
＝∫（上限为b、下限为a）x^2dx＝（1/3）x^3｜（上限为b、下限为a）＝（1/3）（b^3－a^3）.
依题意,有：S(梯形ABCD)－S(曲边形ABCD)＝4/3,
∴（1/2）（a^2＋b^2）（b－a）－（1/3）（b^3－a^3）＝4/3,
∴3（a^2＋b^2）（b－a）－2（b^3－a^3）＝8,
∴3（a^2＋b^2）（b－a）－2（b－a）（b^2＋ab＋a^2）＝8,
∴（b－a）（a^2＋b^2－2ab）＝8,　∴（b－a）^3＝8,　∴b－a＝2,
∴a^2＋b^2－2ab＝4.
令点P的坐标为（x,y）,则由中点坐标公式,有：
x＝（a＋b）/2、y＝（a^2＋b^2）/2,
∴2x＝a＋b、2y＝a^2＋b^2＝（a＋b）^2－2ab＝4x^2－2ab,
∴2ab＝4x^2－2y.
将2ab＝4x^2－2y、a^2＋b^2＝2y代入到a^2＋b^2－2ab＝4中,得：
2y－（4x^2－2y）＝4,　∴y－x^2＝1,　∴y＝x^2＋1.
∴满足条件的点P的轨迹是抛物线y＝x^2＋1.