设抛物线y^2=4px(p>0)的焦点弦AB被焦点分成长为m,n两部分,求证:(1/m)+(1/n)为定值.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 17:52:40
设抛物线y^2=4px(p>0)的焦点弦AB被焦点分成长为m,n两部分,求证:(1/m)+(1/n)为定值.设抛物线y^2=4px(p>0)的焦点弦AB被焦点分成长为m,n两部分,求证:(1/m)+(

设抛物线y^2=4px(p>0)的焦点弦AB被焦点分成长为m,n两部分,求证:(1/m)+(1/n)为定值.
设抛物线y^2=4px(p>0)的焦点弦AB被焦点分成长为m,n两部分,求证:(1/m)+(1/n)为定值.

设抛物线y^2=4px(p>0)的焦点弦AB被焦点分成长为m,n两部分,求证:(1/m)+(1/n)为定值.
焦点(p,0)
若AB斜率不存在,则AB是x=p
则y^2=4p^2
y=2p,-2p
所以m=2p,n=|-2p|=2p
则1/m+1/n=1/p
若斜率存在
则是y-0=k(x-p)
y=kx-kp
代入
k^2x^2-(4p+2k^2p)x+k^2p^2=0
x1+x2=(4p+2k^2p)/k^2
x1x2=p^2
准线x=-p
由抛物线定义,抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
所以m=AF=A到准线距离=x1-(-p)=x1+p
同理,n=x2+p
m+n=x1+x2+2p=(4p+2k^2p)/k^2+2p=(4p+4k^2p)/k^2
mn=(x1+p)(x2+p)=x1x2+p(x1+x2)+p^2=(4p^2+4p^2k^2)/k^2
所以1/m+1/n=(m+n)/mn
=(4p+4k^2p)/(4p^2+4p^2k^2)
=1/p
斜率不存在时也等于1/p
所以1/m+1/n=1/p,是个定值

圆心(p,0)
圆的方程:(x-p)²+y²=p²
带人抛物线y²=4px
x(x+2p)=0
x=0 x=-2p(因为p>0,所以不成立)
所以公共点只有一个(0,0)