若直线L过圆M:x²+y²+6x-2y=0的圆心M,交椭圆E:x²/25+y²/9=1于A,B两点,且A,B关于点M对称,求直线L的方程,

若直线L过圆M:x²+y²+6x-2y=0的圆心M,交椭圆E:x²/25+y²/9=1于A,B两点,且A,B关于点M对称,求直线L的方程,
若直线L过圆M:x²+y²+6x-2y=0的圆心M,交椭圆E:x²/25+y²/9=1于A,B两点,
且A,B关于点M对称,求直线L的方程,

若直线L过圆M:x²+y²+6x-2y=0的圆心M,交椭圆E:x²/25+y²/9=1于A,B两点,且A,B关于点M对称,求直线L的方程,
圆M方程:x²+y²+6x-2y=0 (x+3)平方+(y-1)平方=10
所以 M(-3,1)
直线L过点M并与椭圆交于A、B两点,且两点关于M对称
设A(x1,y1),B(x2,y2) 椭圆方程x²/25+y²/9=1
所以A点代入椭圆得 x1²/25+y1²/9=1 即9x1²+25y1²=225…………(1)
代入B点入椭圆,所以得 9x2²+25y2²=225…………(2)
(1)-(2)
所以 9(x1²-x2²)+25(y1²-y2²)=0
9(x1+x2)(x1-x2)+25(y1+y2)(y1-y2)=0
因为A、B关于M对称
所以x1+x2=-6,y1+y2=2
所以 -54(x1-x2)+50(y1-y2)=0
所以 斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=54/50=27/25
因为直线过M点
所以直线方程 y-1=27/25(x+3) 27x-25y+106=0

解:圆M:x²+y²+6x-2y=0
(x+3)^2+(y-1)^2=10
圆心M坐标:(-3,1)
椭圆E:x²/25+y²/9=1
A,B关于点M对称,则设A坐标为(a,b),则B坐标就是:(-6-a,2-b),那么有
a^2/25+b^2/9=1
(-6-a)^2/26+(2-b)^2/9=1
(...

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解:圆M:x²+y²+6x-2y=0
(x+3)^2+(y-1)^2=10
圆心M坐标:(-3,1)
椭圆E:x²/25+y²/9=1
A,B关于点M对称,则设A坐标为(a,b),则B坐标就是:(-6-a,2-b),那么有
a^2/25+b^2/9=1
(-6-a)^2/26+(2-b)^2/9=1
(36+12a)/25+(4-4b)/9=0
324+108a+100-100b=0
108a-100b+424=0
27a-25b+106=0
∵a,b就是直线L上的点,所以直线L的方程就是:
27x-25y+106=0

收起

x2+y2+6x-2y=0
(x+3)^2+(y-1)^2=10
圆心M（-3，1）
设直线L的方程
y-1=k(x+3) 代入x^2/25+y^2/9=1
k=27/25
直线L的方程
y=27(x+3)/25+1

由题可知圆心M（-3，1）
当斜率不存在时 直线L：x=-3 可知交椭圆A B两点不关于M对称
不符合题意.
∴斜率k存在 可设L：y-1=k（x+3）
联立 x²+y²+6x-2y=0
和 x²/25+y²/9=1
消y 可得： （9+25k^2）x^2 +(150k^2 +50k)x+……...

全部展开

由题可知圆心M（-3，1）
当斜率不存在时 直线L：x=-3 可知交椭圆A B两点不关于M对称
不符合题意.
∴斜率k存在 可设L：y-1=k（x+3）
联立 x²+y²+6x-2y=0
和 x²/25+y²/9=1
消y 可得： （9+25k^2）x^2 +(150k^2 +50k)x+……=0
设 A(x1,y1) B(x2,y2)
则 x1+x2=-(150k^2 +50k)/（9+25k^2）=-6
解得 k=27/25 经检验,k=27/25符合题意
所以直线L方程为 27x-25y+106=0

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