设复数z≠1,且满足|z|=1,试证Re[1/(1-z)]=1/2.

设复数z≠1,且满足|z|=1,试证Re[1/(1-z)]=1/2.
设复数z≠1,且满足|z|=1,试证Re[1/(1-z)]=1/2.

设复数z≠1,且满足|z|=1,试证Re[1/(1-z)]=1/2.
证明：设z=a+bi（a≠1）,则a^2+b^2=1
1/(1-z)=1/(1-a-bi)=(1-a+bi)/[(1-a)^2+b^2]=(1-a+bi)/(1-2a+a^2+b^2)=(1-a+bi)/(2-2a)
其实部为Re[1/(1-z)]=(1-a)/(2-2a)=1/2

|z|=1
设z=a+bi a²+b²=1
b²=1-a²
1/(1-z)=1/[(1-a)-bi]
=[(1-a)+bi]/[(1-a)²+b²]
=[(1-a)+bi]/[(1-a)(1-a+1+a)]
=[(1-a)+bi]/[2(1-a)]
=(1/2)+bi/[2(1-a)]
所以 Re[1/(1-z)]=1/2。

设z=a+bi |z|=1 a^2+b^2=1
1-Z=1-a-bi
1/(1-Z)=1/(1-a-bi)=(1-a+bi)/(1-a-bi)(1-a+bi)=(1-a+bi)/(1-2a+a^2+b^2)=(1-a+bi)/(2-2a)
=1/2 + bi/(2-2i)
所以 Re[1/(1-z)]=1/2

因|z|=1，设：z=a＋bi，则有a²＋b²=1，则：
1/(1－z)=1/[(1－a)－bi]=[(1－a)＋bi]/[(1－a)²＋b²]
实部是(1－a)/[(1－a)²＋b²]=(1－a)/[1－2a＋1]=1/2
则：Re[1/(1－z)]=1/2