已知集合A={x丨f(x)=x},B={x丨f[f(x)]=x},其中函数f(x)=x^2+ax+b（a、b为实数）若A是单元素集,则A、B之间的关系是?答案上的是A=B,求高手全体解题思路..
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 12:03:26
已知集合A={x丨f(x)=x},B={x丨f[f(x)]=x},其中函数f(x)=x^2+ax+b（a、b为实数）若A是单元素集,则A、B之间的关系是?答案上的是A=B,求高手全体解题思路..
已知集合A={x丨f(x)=x},B={x丨f[f(x)]=x},其中函数f(x)=x^2+ax+b（a、b为实数）
若A是单元素集,则A、B之间的关系是?
答案上的是A=B,求高手全体解题思路..
已知集合A={x丨f(x)=x},B={x丨f[f(x)]=x},其中函数f(x)=x^2+ax+b（a、b为实数）若A是单元素集,则A、B之间的关系是?答案上的是A=B,求高手全体解题思路..
A={x丨f(x)=x},)对于A中任意元素x,都满足x=f(x),所以x=f(x)=f[f(x)]
又因为是单元素集,所以两个集合相等
解法一：
设A={t}，为单元素集合，则二次方程应满足f(x)-x=(x-t)²=0
（只有唯一解，故该二次方程可变换为完全平方）,
变换上述等式，有f(x)=(x-t)²+x
对集合B中的元素x，满足f[f(x)]=x，代入上式，有：
x=[f(x)-t]²+f(x)
=[(x-t)²+x-t]²+...
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解法一：
设A={t}，为单元素集合，则二次方程应满足f(x)-x=(x-t)²=0
（只有唯一解，故该二次方程可变换为完全平方）,
变换上述等式，有f(x)=(x-t)²+x
对集合B中的元素x，满足f[f(x)]=x，代入上式，有：
x=[f(x)-t]²+f(x)
=[(x-t)²+x-t]²+(x-t)²+x
即：
[(x-t)²+(x-t)]²+(x-t)²=0 (*)
而
[(x-t)²+(x-t)]²>=0
(x-t)²>=0
所以方程(*)只有x=t一个解
即B={t}=A
解法二：
设A={t}，为单元素集合
故二次方程f(x)=x只有一个根，令y=f(x)-x=(x-t)²≥0(当且仅当x=t时等号成立)
则对于f(f(x))-x=[f(f(x))-f(x)]+[f(x)-x]≥0(同样，当且仅当x=t时等号成立)
故在已知A={t}，为单元素集合的条件下，f(f(x))=x只有一个解t，即B=A
收起
因为集合A为单元素,所以将f(x)带入A中解a=+-b+1,在将该解再代一次,可解ab的两个值。同理解B即可得A=B
解析：依题意，得
设x0∈A
∵A＝{x|f(x0)=x0}
∴f(x0)＝x0对任意x0∈R恒成立
故B＝{x|f[f(x0)]=x0}＝{x|f(x0)=x0}＝A
注：仅供参考！