已知三角形ABC的面积为S,求证a²+b²+c²大于过等于4√3S 这是1961年IMO题目

已知三角形ABC的面积为S,求证a²+b²+c²大于过等于4√3S 这是1961年IMO题目
已知三角形ABC的面积为S,求证a²+b²+c²大于过等于4√3S 这是1961年IMO题目

已知三角形ABC的面积为S,求证a²+b²+c²大于过等于4√3S 这是1961年IMO题目
根据余弦定理有正弦面积定理可得：
c2= b2+ a2-2abcosC,即c2 -b2- a2=-2abcosC
S=1/2absinC,即absinC=2S
可由此等式进行：sin(π/6+C)≤1
展开可得sinπ/6cosC+cosπ/6sinC=1/2cosC+√3/2sinC≤1
等式1/2cosC+√3/2sinC≤1两边同时乘以4ab可得:4ab-2abcosC≥2√3absinC
将-2abcosC= a2 -b2- c2,absinC=2S代入上式可得
c2 -a2- b2+4ab≥4√3S
根据三边循环性可得
b2 -c2- a2+4ac≥4√3S
a2 -b2- c2+4bc≥4√3S
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根据勾股定理