设下述等式中被积函数连续,证明∫(0,a)x[f(φ(x)）+f（φ(a-x)）]dx=a∫(0,a)f(φ(a-x))dx

设下述等式中被积函数连续,证明∫(0,a)x[f(φ(x)）+f（φ(a-x)）]dx=a∫(0,a)f(φ(a-x))dx
设下述等式中被积函数连续,证明∫(0,a)x[f(φ(x)）+f（φ(a-x)）]dx=a∫(0,a)f(φ(a-x))dx

设下述等式中被积函数连续,证明∫(0,a)x[f(φ(x)）+f（φ(a-x)）]dx=a∫(0,a)f(φ(a-x))dx

　　由于
　 　∫[0,a]xf(φ(x))dx
　　= ∫[a,0](a-t)f(φ(a-t))d(a-t) （令 x=a-t）
　　= ∫[0,a](a-t)f(φ(a-t))dt
　　= ∫[0,a](a-x)f(φ(a-x))dx
　　= a∫[0,a]f(φ(a-x))dx - ∫[0,a]xf(φ(...

全部展开

　　由于
　 　∫[0,a]xf(φ(x))dx
　　= ∫[a,0](a-t)f(φ(a-t))d(a-t) （令 x=a-t）
　　= ∫[0,a](a-t)f(φ(a-t))dt
　　= ∫[0,a](a-x)f(φ(a-x))dx
　　= a∫[0,a]f(φ(a-x))dx - ∫[0,a]xf(φ(a-x))dx，
移项，即得
　　　∫[0,a]x[f(φ(x))+f(φ(a-x))]dx = a∫[0,a]f(φ(a-x))dx。
　　

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