已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件;对于任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)求证：（1）f(0)=0(2)f(x)是奇函数,试举出两个这样的函数（3）若当x≥0时,f(x)＜0,试判断函数f(x)在R上的单调性,并证明判
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 06:35:47
已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件;对于任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)求证：（1）f(0)=0(2)f(x)是奇函数,试举出两个这样的函数（3）若当x≥0时,f(x)＜0,试判断函数f(x)在R上的单调性,并证明判
已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件;对于任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)
求证：
（1）f(0)=0
(2)f(x)是奇函数,试举出两个这样的函数
（3）若当x≥0时,f(x)＜0,
试判断函数f(x)在R上的单调性,并证明
判断函数|f(x)|=a,所有可能的解的个数，并求出对应a的范围
已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件;对于任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)求证：（1）f(0)=0(2)f(x)是奇函数,试举出两个这样的函数（3）若当x≥0时,f(x)＜0,试判断函数f(x)在R上的单调性,并证明判
证明
（1）f（0+0）=f（0）+f（0）=f（0）,所以f（0）=0
（2）f（x-x）=f（x）+f(-x)=f(0)=0,所以-f（x）=f(-x),所以是奇函数
（3）设x1,x2∈R,x1＞x2
所以f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）
因为x1-x2＞0,所以f（x1-x2）
f（0+0)=f(0)+f(0)
f(0)=2f(0)
所以f(0)=0
f(x+y)=f(x)+f(y)
得函数是一次函数
一次函数自己随便举
因为函数是一次函数
所以函数在R上单调递减
这题之前做过哈，复制一段
（1）令X=Y=0
则有F（0）=2F（0）
所以F（O）=0
（2）令X=A Y=-A
则有F（0）=F（A）+F（-A）=0
即F（A）=-F（-A）
所以F（X）为奇函数
举例Y=X Y=2X
（3）令X1>X2>0，X1-X2=D
则有F（X2+D）=F（X1）=F（X2）+F...
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这题之前做过哈，复制一段
（1）令X=Y=0
则有F（0）=2F（0）
所以F（O）=0
（2）令X=A Y=-A
则有F（0）=F（A）+F（-A）=0
即F（A）=-F（-A）
所以F（X）为奇函数
举例Y=X Y=2X
（3）令X1>X2>0，X1-X2=D
则有F（X2+D）=F（X1）=F（X2）+F（D）>F(X2)
所以F（X）在（0，+∞）为增函数
由于F（X）为奇函数
所以F（X）在（-∞，O）为增函数
所以F（X）在R上为增函数
当a=0时。解为X=0只有一个
当a≠0时，解有2个。
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证明：
（1）令x=y=0，因为f(x+y)=f(x)+f(y)
所以f(0+0)=f(0)+f(0)=f(0) 解得：
f(0)=0
（2）令y=-x，有：
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以：f(x)=-f(-x)
举例：
f(x)=x是奇函数且满足f...
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证明：
（1）令x=y=0，因为f(x+y)=f(x)+f(y)
所以f(0+0)=f(0)+f(0)=f(0) 解得：
f(0)=0
（2）令y=-x，有：
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以：f(x)=-f(-x)
举例：
f(x)=x是奇函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x)=x/2是奇函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y)
（3）设x>y
f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)
因为x>y，所以x-y>0
又因为当x>0时，f(x)＜0
所以f(x-y)<0，即f(x)-f(y)<0,即f(x)
|f(x)|=a是偶函数，且当x=0时，f(0)=0；当x≠0时，f(x)>0，故：
当a=0时，只有一个解x=0
当a≠0时，解有2个
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