二次型的矩阵为什么一定要是对称的?二次型矩阵为什么一定要是对称的?我好像试了只要保持a(ij)+a(ji)=交叉项系数就可以表示二次型了.但是一般的矩阵如果用来表示二次型的话它的特征值和

二次型的矩阵为什么一定要是对称的?二次型矩阵为什么一定要是对称的?我好像试了只要保持a(ij)+a(ji)=交叉项系数就可以表示二次型了.但是一般的矩阵如果用来表示二次型的话它的特征值和
二次型的矩阵为什么一定要是对称的?
二次型矩阵为什么一定要是对称的?我好像试了只要保持a(ij)+a(ji)=交叉项系数就可以表示二次型了.但是一般的矩阵如果用来表示二次型的话它的特征值和特征向量就未必真的能够反映二次型原有的属性了,这又是为什么?
那为什么只有对称矩阵的特征值才能够反映相应椭圆、双曲线或者高维椭球、单叶双叶双曲面的长短轴之类的？不是对称阵它同样表示二次型就不能反映这个特点了呢？书上说因为所有对称阵都能正交变换化为对角阵，所以二次型都能化成标准型，但你怎么能够证明这样的变换和我直接在二次型方程中对相应的变量进行变换地等价性？为什么不是对称阵我再去取正交变换这个变换和我直接进行方程内部变量的代换就不等价了呢？
麻烦电灯剑客把第三条再说得详细点。

二次型的矩阵为什么一定要是对称的?二次型矩阵为什么一定要是对称的?我好像试了只要保持a(ij)+a(ji)=交叉项系数就可以表示二次型了.但是一般的矩阵如果用来表示二次型的话它的特征值和
1.非对称形式下矩阵特征值的性质不够清晰,你自己去看一下
2.“怎么能够证明这样的变换和我直接在二次型方程中对相应的变量进行变换地等价性?”
从分量形式来看就知道是一回事,再利用正交变换可以表示成有限次旋转变换和镜像变换的乘积来得到等价性.
3.“为什么不是对称阵我再去取正交变换这个变换和我直接进行方程内部变量的代换就不等价了呢?”
没这回事,仍然是等价的,只不过变换完之后的表示矩阵是一个对角阵和一个反对称矩阵的和,导致你没有看到等价性.

只要保持a(ij)+a(ji)=交叉项系数就可以表示二次型了
但只有A为对称阵时才有:
y=f(x)=x*A*xT 且A能同过正交变换A=pVpT
A与V有相同特征植
使y=xpV(xp)T=zVzT(z=xp)是标准形
如果A不是对称阵就不能通过线形变化z=xp使y=f(x)=x*A*xT 化为标准形y=zVzT