(24 20:17:47)证明n3+5n(n∈N*)能被6整除

(24 20:17:47)证明n3+5n(n∈N*)能被6整除
(24 20:17:47)
证明n3+5n(n∈N*)能被6整除

(24 20:17:47)证明n3+5n(n∈N*)能被6整除
1的时候成立
假设n=k的时候成立,n=k+1时
(k+1)^3+5(k+1)-(k^3+5k)=3k^2+3k+1+5=3k(k+1)+6
因为k∈N*,所以k和k+1至少其中一个为偶数,所以2|3k(k+1)
3|3k(k+1) => 6|3k(k+1)
6|6
所以6|3k(k+1)+6
因为k^3+5k能被6整除,所以(k+1)^3+5(k+1)也能被6整除

证明：1.当n=1时，n3+5n=6，能被6整除
2.假设当n=a时，n3+5n=a3+5a也能被6整除则当n=a+1时
n3+5n=a3+3a2+3a+1+5a+5=a3+3a2+8a+6= a3+5a+3a(a+1)+6
a3+5a能被6整除
a（a+1）是个偶数 所以3a(a+1)能被6整除
...

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证明：1.当n=1时，n3+5n=6，能被6整除
2.假设当n=a时，n3+5n=a3+5a也能被6整除则当n=a+1时
n3+5n=a3+3a2+3a+1+5a+5=a3+3a2+8a+6= a3+5a+3a(a+1)+6
a3+5a能被6整除
a（a+1）是个偶数 所以3a(a+1)能被6整除
所以 当n=a+1时n3+5n也能被6整除
综上所述
n3+5n（n∈N*)能被6整除

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证明(1)当n=1时，左边=1+5*1=6/6=1
所以n=1时能被6整除
（2）假设n=k时成立，那么k*k*k+5*k能被6整除
则当n=k+1时，左边=（k+1）3+5(k+1)=k*k*k+3*k*k+3*k+1+5*k+5
= (k*k*k+5*k)+3*k*k+3*k+1+5
由假设知(k*k*k+5*k)能被6整除
而1+5显然能被6整...

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证明(1)当n=1时，左边=1+5*1=6/6=1
所以n=1时能被6整除
（2）假设n=k时成立，那么k*k*k+5*k能被6整除
则当n=k+1时，左边=（k+1）3+5(k+1)=k*k*k+3*k*k+3*k+1+5*k+5
= (k*k*k+5*k)+3*k*k+3*k+1+5
由假设知(k*k*k+5*k)能被6整除
而1+5显然能被6整除，3*k*k+3*k=3*k(k+1)当k为奇数时，那么k+1为偶数，那么必能整除6，如果k为偶数，3*k必能整除6，那么3*k*(k+1)必能整除6
综上（1）（2）所述，n3+5n(n∈N*)能被6整除

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当n=1时，上式=6 恒成立
设当n=k时 即k3+5k能被6整除 恒成立
则当n=k+1时上式可化为=（k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+5k+1+5=(k3+5k)+3k2+3k+6
化简式中只需证3k2+3k+6能被6整除
3k2+3k+6=3k(k+1)+6
k与k+1二者恒有一为偶数，因此3k2+3k+6能被6整除

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当n=1时，上式=6 恒成立
设当n=k时 即k3+5k能被6整除 恒成立
则当n=k+1时上式可化为=（k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+5k+1+5=(k3+5k)+3k2+3k+6
化简式中只需证3k2+3k+6能被6整除
3k2+3k+6=3k(k+1)+6
k与k+1二者恒有一为偶数，因此3k2+3k+6能被6整除
综上所述：n3+5n(n∈N*)能被6整除

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