1.（5+√24）的2n次方的个位数是多少?2.x,y,z,为非负实数,且x+y+z=1 求证：x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)>=0第一道是不是用二项式定理?第二道我用舒尔不等式用不起啊……
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/03 20:48:18
1.（5+√24）的2n次方的个位数是多少?2.x,y,z,为非负实数,且x+y+z=1 求证：x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)>=0第一道是不是用二项式定理?第二道我用舒尔不等式用不起啊……
1.（5+√24）的2n次方的个位数是多少?2.x,y,z,为非负实数,且x+y+z=1 求证：x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)>=0
第一道是不是用二项式定理?第二道我用舒尔不等式用不起啊……
1.（5+√24）的2n次方的个位数是多少?2.x,y,z,为非负实数,且x+y+z=1 求证：x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)>=0第一道是不是用二项式定理?第二道我用舒尔不等式用不起啊……
1) 设(5+√24)^2n=A
(5-√24)^2n=B 则B=1/(5+√24)^2n∈（0,1）
而 将A,B的左边展开相加,奇数项符号相反,正好抵消
前面的偶数项一般式是 2[5^2k*24^(n-k)]都是10的倍数
最后一项为 2*24^n=2(25-1)^n 的末尾数为8 或者 2 （分n是奇数还是偶数）
所以,A的个位数为 7或者1
2）设f(t)=t(1-2t)(1-3t) t∈[0,1]
不妨设 f(t)=t(1-2t)(1-3t)≥a(3t-1) 在[0,1]恒成立,先确定a
因为所求不等式在 x=y=z=1/3时取等
故f(t)=t(1-2t)(1-3t)-a(3t-1)在t=1/3时取极小值,导数为0
故 18t^2-10t+1-3a=0 有一个根为x1=1/3,故 x2=2/9, a=25/81
所以g(t)在[0,2/9],[1/3,1]单调增加,在[2/9,1/3]单调减小
所以g(t)在[0,1]上的最小值为 min{g(0),g(1/3)}=0
所以 x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)
=f(x)+f(y)+f(z)
>=25(3x-1)/81+25(3y-1)/81+25(3z-1)/81=0
当且仅当x=y=z=1/3时取等
1，（5-根号24）的2n次方是一个小于1的数。二项式展开知道它跟你求的式子相加绝对是一整数。它俩相加奇数次方约掉，偶数次方乘2，得到通项
T（2k）=2×C（上面2k，下面2n）×5的2k次方×24的n-k次方。2×5=10.所以上面每一个T绝对都是10的倍数。个位数为0.而这个结果是加了（5-根号24）的2n次方后进位得到的。所以你求的个位数绝对是9.
注：不知道你看懂不，...
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1，（5-根号24）的2n次方是一个小于1的数。二项式展开知道它跟你求的式子相加绝对是一整数。它俩相加奇数次方约掉，偶数次方乘2，得到通项
T（2k）=2×C（上面2k，下面2n）×5的2k次方×24的n-k次方。2×5=10.所以上面每一个T绝对都是10的倍数。个位数为0.而这个结果是加了（5-根号24）的2n次方后进位得到的。所以你求的个位数绝对是9.
注：不知道你看懂不，数学符号不好打。
2，直接用凹函数性质要是能做那还叫联赛模拟题么。我还没想出来，我想想再来。
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....你喜欢用什么就用什么。。。。我是靠定理加猜测，再定理确定。。。。。。。。慢慢缩小答案范围咯~~~~