已知集合M=｛x|x=m²-n²,m,n∈Z｝.①由于1=1²-0²,3=2²-1²,5=3²-2²,…,那么任何奇数是否都是集合M中的元素?证明你的结论.②显然2∉M,6∉M,能否证明任何偶数都不是集

已知集合M=｛x|x=m²-n²,m,n∈Z｝.①由于1=1²-0²,3=2²-1²,5=3²-2²,…,那么任何奇数是否都是集合M中的元素?证明你的结论.②显然2∉M,6∉M,能否证明任何偶数都不是集
已知集合M=｛x|x=m²-n²,m,n∈Z｝.
①由于1=1²-0²,3=2²-1²,5=3²-2²,…,那么任何奇数是否都是集合M中的元素?证明你的结论.
②显然2∉M,6∉M,能否证明任何偶数都不是集合M中的元素?请说明理由.

已知集合M=｛x|x=m²-n²,m,n∈Z｝.①由于1=1²-0²,3=2²-1²,5=3²-2²,…,那么任何奇数是否都是集合M中的元素?证明你的结论.②显然2∉M,6∉M,能否证明任何偶数都不是集
(1)正确,任意奇数2n+1=(n+1)^2 - n^2.
(2)不正确,取m=4,n=2,x=m^2 - n^2 = 12,12属于M.
事实上任意4k+2都不属于M,任意4k+4都属于M.
x=m^2-n^2 = (m-n)(m+n)
因为m-n和m+n同为奇数,或同为偶数,所以当x为偶数时,m-n,m+n都是偶数,则x被4整除.
因为4k+4 = (k+2)^2 - k^2,所以4k+4属于M.

（1）因为M、N为整数，因此只要令M=N+1
M²-N²=（N+1）²-N²=2N-1
因为N是整数，所以2N-1代表所有奇数
因此任意奇数都是集合M的元素
（2）当M、N都取偶数时，如M=2P、N=2Q（P、Q为整数）
M²-N²=（2P）²-（2Q）²=4（P²-Q...

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（1）因为M、N为整数，因此只要令M=N+1
M²-N²=（N+1）²-N²=2N-1
因为N是整数，所以2N-1代表所有奇数
因此任意奇数都是集合M的元素
（2）当M、N都取偶数时，如M=2P、N=2Q（P、Q为整数）
M²-N²=（2P）²-（2Q）²=4（P²-Q²），
因为P、Q都是整数，所以集合M的元素中一定有4的倍数，是偶数
因此结论不成立

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