如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90,∠BCD的平分线与AB交于点N,过AB中点M作AB的垂线与CN交于点P,连接DP[1]求证:∠ADP=∠CDP[2]问:△MNP与△PDC相似吗?为什么?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/17 07:17:04
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90,∠BCD的平分线与AB交于点N,过AB中点M作AB的垂线与CN交于点P,连接DP[1]求证:∠ADP=∠CDP[2]问:△MNP与△PDC相似吗?为什

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90,∠BCD的平分线与AB交于点N,过AB中点M作AB的垂线与CN交于点P,连接DP[1]求证:∠ADP=∠CDP[2]问:△MNP与△PDC相似吗?为什么?
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90,∠BCD的平分线与AB交于点N,过AB中点M作AB的垂线与CN交于点P,连接DP
[1]求证:∠ADP=∠CDP
[2]问:△MNP与△PDC相似吗?为什么?

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90,∠BCD的平分线与AB交于点N,过AB中点M作AB的垂线与CN交于点P,连接DP[1]求证:∠ADP=∠CDP[2]问:△MNP与△PDC相似吗?为什么?
答:(1)证明:延长MP交DC于点F
∵点M是AB中点而且MP‖AD
∴DF=CF
又∵MP‖AD‖BC
∴∠ADP=∠DPF,∠BCP=∠CPF
∵CN平分∠BCD
∴∠BCD=∠PCD
∴∠CPF=∠PCD
即⊿PCF为等腰三角形
∴PF=CF
又∵CF=DF
∴DF=PF
∴⊿DPF为等腰三角形
∴∠DPF=∠CDP
∴得∠ADP=∠CDP
(2)相似
又第一问得知DF=CF=PF
即PF=1/2DC
所以⊿PDC是直角三角形
所以∠PDC=∠NMP=90º
又∵MP‖BC
∴∠MPN=∠BCN=∠DCP
∴由 ∠MPN=∠DCP
∠PDC=∠NMP=90º
∴⊿MNP∽⊿PDC

延长DP至Q,因为M为中点且MP平行AD和BC,所以PQ=PD,又因为CN平分角BCD,所以cpd为等腰三角形,则底角相等,AD平行BC,内错角相等,又根据三线合一得出CP垂直PD,从而证明相似