函数y=√(x-3)²+x² +√(x-4)²+(x-1)²的最小值是如题

函数y=√(x-3)²+x² +√(x-4)²+(x-1)²的最小值是如题
函数y=√(x-3)²+x² +√(x-4)²+(x-1)²的最小值是
如题

函数y=√(x-3)²+x² +√(x-4)²+(x-1)²的最小值是如题

答：
y=√[(x-3)²+x²]+√[(x-4)²+(x-1)²]
表示平面直角坐标系中：
直线y=x上的点到点(3,0)和到点（4,1）的距离之和.
作点A（3,0）关于直线y=x的对称点A'(0,3)
连接A'C,得A'C直线为y=-x/2+3
与直线y=x的交点B（2,2）即为所求最小值点.
所以：距离最小值为A'C=√[(3-1)²+(0-4)²]=2√5


所以：y=√[(x-3)²+x²]+√[(x-4)²+(x-1)²]的最小值为2√5,此时x=2

原题是怎样的？

如果是：

这一题其实就是下面这个的变型：

求 y=|x-3|+|x-4|+(x-1)²+x² 的最小值

先看一下函数图象：

答案是6，心里有底了。

按照常规方法，这题可以这样

①x≤3，

则 y=3-x+4-x+(x-1)²+x²

      =2x²-4x+8，

最小值是y=6（当x=1时）

②3<x<4

则 y=x-3+4-x+(x-1)²+x²

      =2x²-2x+2

没有最小值（因为本来是x=3时，但3取不到）

③x≥4

则 y=x-3+x-4+(x-1)²+x²

      =2x²-6

最小值是y=26（当x=4时）

综上，函数的最小值是6.

—————————————————————————————————————————

如果是

另一位的解法无疑是一种很好的方法，但是不太容易想到。

先显示一下函数图象：

它是关于直线 x=2 对称的，这点是可以证明的：

令x分别取（2+t）和（2-t），则函数值分别为：

①当x=2+t 时，

②当x=2-t 时，

两个函数值相等，因此就能说明 函数y 的曲线关于 直线x=2 对称。

再通过证明单调性，可以得到当 x=2 时，y取最小值，代入就行了。

希望对你有帮助，满意望采纳，谢谢。

首先，该函数表达式的几何意义是：在Y=X上寻找一点，使得该点到（3，0）及（4，1）的距离之和最小。
而与（3，0）关于Y=X对称的点为（0，3），连接（0，3）与（4，1）交Y=X于A点则容易证明A与（3，0）及
（4，1）的距离之和最小，此时的A为（2，2），故Y的最小值为2√5。...

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首先，该函数表达式的几何意义是：在Y=X上寻找一点，使得该点到（3，0）及（4，1）的距离之和最小。
而与（3，0）关于Y=X对称的点为（0，3），连接（0，3）与（4，1）交Y=X于A点则容易证明A与（3，0）及
（4，1）的距离之和最小，此时的A为（2，2），故Y的最小值为2√5。

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