已知a.b.c是非零实数,且满足b+c/a=c+a/b=a+b/c,求（a+b)(b+c)(c+a)/abc的值

已知a.b.c是非零实数,且满足b+c/a=c+a/b=a+b/c,求（a+b)(b+c)(c+a)/abc的值
已知a.b.c是非零实数,且满足b+c/a=c+a/b=a+b/c,求（a+b)(b+c)(c+a)/abc的值

已知a.b.c是非零实数,且满足b+c/a=c+a/b=a+b/c,求（a+b)(b+c)(c+a)/abc的值
(a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a=k
设上式等于k,得
a+b=kc
a+c=kb
b+c=ka
以上三式相加,得
2(a+b+c)=k(a+b+c)
k(a+b+c)-2(a+b+c)=0
(k-2)(a+b+c)=0
解得：k=2和a+b+c=0,
当k=2时,(a+b)(a+c)(b+c)/abc=2*2*2=8；
当a+b+c=0时,可得：a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a,则
(a+b)(a+c)(b+c)/abc=-c*(-b)*(-a)/abc=-1.

特殊值法
当a=b=c=1时
显然满足以知
所以=8
这是特殊满足一般性原理

设上式等于k，得
a+b=kc
a+c=kb
b+c=ka
以上三式相加，得
2(a+b+c)=k(a+b+c)
k(a+b+c)-2(a+b+c)=0
(k-2)(a+b+c)=0
解得：k=2和a+b+c=0，
当k=2时，(a+b)(a+c)(b+c)/abc=2*2*2=8；
当a+b+c=...

全部展开

设上式等于k，得
a+b=kc
a+c=kb
b+c=ka
以上三式相加，得
2(a+b+c)=k(a+b+c)
k(a+b+c)-2(a+b+c)=0
(k-2)(a+b+c)=0
解得：k=2和a+b+c=0，
当k=2时，(a+b)(a+c)(b+c)/abc=2*2*2=8；
当a+b+c=0时，可得：a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，则
(a+b)(a+c)(b+c)/abc=-c*(-b)*(-a)/abc=-1。

收起

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