求同时满足下列三个条件的自然数a,b:1,a>b;2,ab/a+b=169;3,a+b是平方数

求同时满足下列三个条件的自然数a,b:1,a>b;2,ab/a+b=169;3,a+b是平方数
求同时满足下列三个条件的自然数a,b:1,a>b;2,ab/a+b=169;3,a+b是平方数

求同时满足下列三个条件的自然数a,b:1,a>b;2,ab/a+b=169;3,a+b是平方数
设a+b=m^2 (m 为自然数)
ab=169(a+b)=(13m)^2
a、b是方程 x^2-m^2x+(13m)^2=0 的两个不相等的根.
x={m^2±√[(-m^2)^2-4*(13m)]}/2
=[m^2±m√(m^2-26^2)]/2=m/2*[m±√(m^2-26^2)]
a、b是自然数,所以m^2-26^2>0 且是平方数.
不妨令 n^2=m^2-26^2 (n为自然数）
x=m(m±n)/2 .(1)
由 m^2-n^2=26^2
=> (m+n)（m-n)=(26)^2
由于m+n、m-n 奇偶性一致,m+n>m-n
所以只可能 m+n=2*13^2 、m-n=2 => m=170、n=168
代入(1)中,得到其两个根 x1=170,x2=28730
=> a=28730 ,b=170

ab/a+b=169=13^2---->a,b都是13的倍数
设:a=13c,b=13d
则:(13c*13d)/13(c+d)=169
cd=13(c+d)
c=13d/(d-13)=13+169/(d-13)
d1=14,d2=26,d3=182
对应:c1=182,c2=26,c3=14
因为a>b
所以c>d
所以,c...

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ab/a+b=169=13^2---->a,b都是13的倍数
设:a=13c,b=13d
则:(13c*13d)/13(c+d)=169
cd=13(c+d)
c=13d/(d-13)=13+169/(d-13)
d1=14,d2=26,d3=182
对应:c1=182,c2=26,c3=14
因为a>b
所以c>d
所以,c=182,d=14
所以,
a=13c=13*182=2366
b=13d=13*14=182
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