圆C:x^2+y^2=16,A(0,2).P,Q为圆上的两个动点,且AP垂直于AQ.求PQ的中点M轨迹
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 17:10:16
圆C:x^2+y^2=16,A(0,2).P,Q为圆上的两个动点,且AP垂直于AQ.求PQ的中点M轨迹
圆C:x^2+y^2=16,A(0,2).P,Q为圆上的两个动点,且AP垂直于AQ.求PQ的中点M轨迹
圆C:x^2+y^2=16,A(0,2).P,Q为圆上的两个动点,且AP垂直于AQ.求PQ的中点M轨迹
设PQ的中点坐标为B（x,y）,又设Q(a,b),P(c,d),则由已知条件：AP⊥AQ,可知,A、P、Q三点同园,园心为B,BA=BP=BQ=园B的半径R,得下方程组：
X^2+(Y-2)^2=R^2.(1)
(X-a)^2+(Y-b)^2=R^2.(2)
(X-c)^2+(Y-d)^2=R^2.(3)
a^2+b^2=16.(4)
c^2+d^2=16.(5)
(1)、(4)、(5)代入(2)、(3),得
a=(8-bY)/X.(6)
c=(8-dY)/X.(7)
(6)代入(4),(7)代入(5),解得
b=,d=,再求出,a=,c=
把a、b代入（2）或把c、d的值代入（3）,可求出R^2,把R^2的值代入（1）,即得PQ的中点M轨迹
设P（4cosA,4sinA） Q(4cosB,4sinB)
则中点M（x,y）
则x=2(cosA+cosB) y=2(sinA+sinB)
AP垂直于AQ.在直角三角形APQ中
2MA=PQ
4MA^2=PQ^2
4(4(cosA+cosB)^2+4((sinA+sinB)-1)^2)=(4cosA-4cosB)
...
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设P（4cosA,4sinA） Q(4cosB,4sinB)
则中点M（x,y）
则x=2(cosA+cosB) y=2(sinA+sinB)
AP垂直于AQ.在直角三角形APQ中
2MA=PQ
4MA^2=PQ^2
4(4(cosA+cosB)^2+4((sinA+sinB)-1)^2)=(4cosA-4cosB)
^2+(4sinA-4sinB)^2
=32-32(cosAcosB+sinAsinB)=32-32cos(A-B)
整理得
4cos(A-B)=2(sinA+sinB)-1=y-1
而x^2+y^2=4(cosA+cosB)^2+4(sinA+sinB)^2
=8+8(cosAcosB+sinAsinB)
=8+8cos(A-B)
=8+2(y-1)
整理得
x^2+(y-1)^2=7
收起