证明f(x)是常数考研的一题目:f(x)是一个多项式函数,若存在非零实数c,使得f(x-c)=f(x),证明:f(x)是常数.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 01:49:02
证明f(x)是常数考研的一题目:f(x)是一个多项式函数,若存在非零实数c,使得f(x-c)=f(x),证明:f(x)是常数.证明f(x)是常数考研的一题目:f(x)是一个多项式函数,若存在非零实数c

证明f(x)是常数考研的一题目:f(x)是一个多项式函数,若存在非零实数c,使得f(x-c)=f(x),证明:f(x)是常数.
证明f(x)是常数
考研的一题目:
f(x)是一个多项式函数,若存在非零实数c,使得f(x-c)=f(x),证明:f(x)是常数.

证明f(x)是常数考研的一题目:f(x)是一个多项式函数,若存在非零实数c,使得f(x-c)=f(x),证明:f(x)是常数.
设:f(x)=a0x^n +a1x^(n-1) +… a(n-1)x+ an
当f(x)的最高次n=0,f(x)=a0,结论显然成立
当f(x)的最高次为n,n》1时,f(x-c)=f(x),对等式两边求N-1阶导数,所以当x的次数小于N-1的项都为0,所有,必有a0*n!*(x-c)+a1*(n-1)!=a0*n!*x+a1*(n-1)!
所以整理得:a0*n!*c=0,c=0(最高次的系数a0显然不能等于零),这与非零实数c矛盾
综合上述:当f(x)的最高次只能为0,f(x)是常数