分段函数f(x),f(0)=0,=0时,f(x)=exp(-1/x^2),求f(x)在0处的任意阶导数值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 20:19:17
分段函数f(x),f(0)=0,=0时,f(x)=exp(-1/x^2),求f(x)在0处的任意阶导数值.
分段函数f(x),f(0)=0,=0时,f(x)=exp(-1/x^2),求f(x)在0处的任意阶导数值.
分段函数f(x),f(0)=0,=0时,f(x)=exp(-1/x^2),求f(x)在0处的任意阶导数值.
看上去你知道结论但不会严格证明,楼上几位提供的证明从严谨性上讲也确实有所不足,我给你演示一下,希望你能明白一些细微地方的技术运用.
首先,当x!=0时,f的n阶导数为
f^{(n)}(x) = exp(-1/x^2)P_n(1/x),
其中P_n(t)是一个3n次多项式,这一步用归纳法证明,P_n可由递推关系P_{n+1}(t) = t^2 P_n'(t) + 2t^3 P_n(t)确定.
下一步证明对任何实数k>0,lim{x->0} exp(-1/x^2) / x^k = 0 （当然k<=0也对,只是这里没用）
这一步不要蛮干,先做变量替换t=1/x^2,转化成 t^{k/2} / exp(t),然后用L'Hospital法则求[k/2]+1次就行了.
注意把exp(...)或ln(...)化成exp(t)或ln(t)通常会极大地简化需反复使用L'Hospital法则的证明,这样比较有说服力.
然后利用第2步的结论可以立即推出n>=1时lim{x->0} f^{(n)}(x) = 0以及f^{(n)}(0) = lim{x->0} [f^{(n-1)}(x)-0]/x = 0,也就是说f^{(n)}(x)在0点连续、f^{(n)}(0)存在且为0（这里也需要逐步递推,因为需要f^{(n-1)}(0)=0及连续性才能继续讨论f^{(n)}(0)）.
当然,如果要非常严谨的证明,对于各处归纳法的使用都要注意验证归纳基础,这样逻辑上才是完整的.
df/dx |x=0 = lim (exp(-1/x^2) -0)/x = lim (exp(-1/x^2)/x
显然等于0，但是这个证明就难了一阶和二阶的情况通过倒代换比较容易得到导数值为0，但阶数越高表达式就越繁琐，小弟愚钝，没看出有什么规律其实当x趋于0时，倒代后x趋于无穷大，也不容易求极限 尽量放大缩小吧，高阶也需要放大缩小...
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df/dx |x=0 = lim (exp(-1/x^2) -0)/x = lim (exp(-1/x^2)/x
显然等于0，但是这个证明就难了
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只能用定义球：显然连续
导数f'(0)=lim(f(x)-f(0)）/x=(换元，令t=1/x)
=lim(t/exp(-t^2))=0
x!=0,f'(x)=2/x^3*exp(-1/x^2)
导数f''(0)=....=0 如上（换元,t=1/x)
................
任意阶导数值=0
答案如下，希望能采纳，花了好长时间做的，虽然不完美，但是至少能让你明白f(x)在0处的任意阶导数值为0
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