设函数f(x)=|2x-4|+1,若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围

设函数f(x)=|2x-4|+1,若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围
设函数f(x)=|2x-4|+1,若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围

设函数f(x)=|2x-4|+1,若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围
1.代数法
f(x)≤ax,   即|2x-4|+1≤ax
展开得-ax+1≤2x-4≤ax-1
不妨写作不等式组① 2x-4≤ax-1
                                ②-ax+1≤2x-4
化简得          ③(a-2)x ≥-3
                                ④(a+2)x≥5
由于(a-2),(a+2)的正负情况不确定,故讨论
（1）a-2>0且a+2>0,即a>2                     不等式组的解为x≥5/(a+2)            
因为5/(a+2)>(-3)/(a-2),前者为正后者为负,同大取大
只要x ≠ -2,不等式组的解就非空,但由于是在a>2的前提下解得的,所以a>2
（2）a-2>0且a+2<0,即&Oslash;
（3）a-2<0且a+2>0,即-2<a<2               不等式组的解为5/(a+2)≤x≤(-3)/(a-2)
要使得不等式组的解非空,只需5/(a+2)≤(-3)/(a-2),解得a≤-2或者1/2≤a≤2
但由于是在-2<a<2 的前提下解得的,所以1/2≤a<2
  (4)a-2<0且a+2<0,即a<-2                       不等式组的解为x≤5/(a+2) 
因为5/(a+2)<(-3)/(a-2),前者为负后者为正,同小取小
只要x ≠ -2,不等式组的解就非空,但由于是在a<-2  的前提下解得的,所以a<-2  
综上有a<-2或1/2≤a ,且a≠ 2
再做一遍检验,把a=-2,a=1/2,a=2带入|2x-4|+1≤ax,发现a=2也满足题意
所以最终a的取值范围为a<-2或a≥1/2
 
2.几何法
上图（我知道很难看,请将就,有好的画图工具记得推荐给我）
f(x)=|2x-4|+1的图像是V型,可先做出y=2x-4的图像,在把x轴下方的图像翻折上去再向上平移一个单位
 |2x-4|+1≤ax的解集非空的几何意义是：y=ax与y=|2x-4|+1相切或y=ax在y=|2x-4|+1的上方
图中的y=a₁x和y=a  ₂x表示不等式f(x)≤ax的解集非空的临界情况,几何意义为y=a₁x与V型区域上方的交点至少有一个,当然y=ax,a≥a₁时,y=ax与V型区域上方的交点肯定大于一个,即比y=a₁x更陡的正比例函数总有一部分区域在V型区域上方,所以a≥1/2（先联立y=2x-4+1和y=4-2x+1得到（2,1）这个点,由于y=a₁x过该点,求得a₁=1/2）
还有一种情况是当y=a  ₂x（y=a  ₂x与y=4-2x+1平行）时,它与V型区域上方没有交点,但是只要有y=ax,a<a  ₂时,y=ax就有有一部分区域在V型区域上方,所以a<-2（因为y=a  ₂x与y=4-2x+1同斜率,a  ₂=-2）
答案：a的取值范围 a≥1/2或a<-2

由题意：
|2x-4|+1≤ax
即
-ax-1≤2x-4≤ax+1
解得 x≤3/(2-a)且x≥5/(2+a)
要使得解集非空，只需3/(2-a)≥5/(2+a)
解得 a≥1/2