已知直线L:y=x+1与曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.(1)若OA的绝对值=OB的绝对值,求证:曲线C是一个圆(2)若OA垂直OB,当a>b且a∈[(√6)/2,(√10)/2]时,求曲线C的
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/09 00:00:15
已知直线L:y=x+1与曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.(1)若OA的绝对值=OB的绝对值,求证:曲线C是一个圆(2)若OA垂直OB,当a>b且a∈[(√6)/2,(√10)/2]时,求曲线C的
已知直线L:y=x+1与曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.
(1)若OA的绝对值=OB的绝对值,求证:曲线C是一个圆
(2)若OA垂直OB,当a>b且a∈[(√6)/2,(√10)/2]时,求曲线C的离心率e的取值范围
已知直线L:y=x+1与曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.(1)若OA的绝对值=OB的绝对值,求证:曲线C是一个圆(2)若OA垂直OB,当a>b且a∈[(√6)/2,(√10)/2]时,求曲线C的
设直线L:y=x+1与曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)
交于不同的两点A(x1,y1)B(x2,y2)
则y1=x1+1,y2=x2+1,x1^2/a^2+y1^2/b^2=1,x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
所以y1-y2=x1-x2,(x1^2-x2^2)/a^2+(y1^2-y2^2)/b^2=0
(1)因为|OA|=|OB|,所以x1^2+y1^2=x2^2+y2^2.
所以(x1^2-x2^2)=-(y1^2-y2^2)
代入(x1^2-x2^2)/a^2+(y1^2-y2^2)/b^2=0
得a=b,所以曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1是一个圆
(2)将y=x+1代入曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1
化简得(a^2+b^2)x^2+2a^2x+a^2-a^2b^2=0
所以x1+x2=-2a^2/(a^2+b^2),x1x2=a^2(1-b^2)/(a^2+b^2),
所以y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=b^2(1-a^2)/(a^2+b^2)
因为OA垂直OB,所以x1x2+y1y2=0
所以a^2(1-b^2)+b^2(1-a^2)=0
因为a>b,所以曲线C:x^2/a^2+y^2/b^2=1是一个焦点在x轴上的椭圆.
将b^2=a^2-c^2代入并化简得2a^2-c^2+2a^2c^2-2a^4=0
两边同除于a^4
得2/a^2-e^2/a^2+2e^2-2=0
所以(2-e^2)/(2e^2-2)=a^2
因为a∈[(√6)/2,(√10)/2]
所以3/2≤(2-e^2)/(2e^2-2)≤5/2
解得7/6≤e^2≤5/4
所以√42/6≤e≤√5/2.