已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC的面积分为相等的两部分,设AP=x,PQ=y求y与x的函数关系
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 00:04:49
已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC的面积分为相等的两部分,设AP=x,PQ=y求y与x的函数关系
已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC
已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC的面积分为相等的两部分,设AP=x,PQ=y
求y与x的函数关系 求y的最值
已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC已知三角形为正三角形,AB=1,P,Q依次为AB,AC上的点,且线段PQ将三角形ABC的面积分为相等的两部分,设AP=x,PQ=y求y与x的函数关系
设AQ=z,因为pq将三角形面积分成了相等的两部分,所以1/2三角形ABC的面积=1/2*1*(根号3/2)*1/2=1/2*sin60*x*z
在三角形APQ中,cos60=（x平方+z平方-y平方）/2zx.
解以上两个方程消除Z,得到y与x的关系：4x四次方-4x平方*y平方-2x平方+1=0.
AP=x
由于PQ等分三角形ABC的面积，
那么有(AP*AQ)/(AB*AC)=1/2
则x*AQ=1/2
AQ=1/(2x)
AP=x，PQ=y
由余弦定理有：y^2=x^2+AQ^2-x*AQ=x^2+1/(4x^2)-1/2
于是y=根号下[x^2+1/(4x^2)-1/2]
由
AQ=1/(2x)≤1,x≥1/2
全部展开
AP=x
由于PQ等分三角形ABC的面积，
那么有(AP*AQ)/(AB*AC)=1/2
则x*AQ=1/2
AQ=1/(2x)
AP=x，PQ=y
由余弦定理有：y^2=x^2+AQ^2-x*AQ=x^2+1/(4x^2)-1/2
于是y=根号下[x^2+1/(4x^2)-1/2]
由
AQ=1/(2x)≤1,x≥1/2
即1/2≤x≤1
当x^2=1/(4x^2),即x=√2/2∈时，y取最小值=√2/2
当x=1/2或1时，y取最大值=√3/2
收起
正弦定理，S=1/2AP×AQSIN60°=1/2(1/2AB×AC×SIN60°)
∴x*AQ=1/2×1×1 AQ=1/(2x)
余弦定理，PQ²=AP²+AQ²-2×AP×AQ×COS60°
即PQ²=x²+1/(4x²)-2*x*1/(2x)*1/2=x²+1/(4x²)-1/2
∴y=√[(x²+1/(4x²)-1/2](0
由图可知，原正三角形的面积为¼√3.且x必须不小于½ ，否则命题不成立。当P在AB的中点时，Q必须在C的位置。此时x=½, y＝½√3. 当P在B点时，x=1, y=½√3. 还有一个PQ//BC的状态，是需要引起认真注意的。以上这都是简单的分析。 设AP＝x，设PQ＝y。 三角形APQ的面积为正三角形的面积¼√3的½.即(√3)/8.再设AQ＝z,列出等式： △APQ面积＝½ ·x·z·sin60º, (√3)/8＝½ ·x·z·½√3, ∴½＝xz, z＝1／(2x). 在△APQ中利用余弦定理，y²＝x²＋z²－2xz cos60º＝x²＋z²－xz＝x²＋z²－½＝x²＋(1/(2x))²－½. ∴y＝√[x²＋(1/(2x))²－½].当且仅当x²＝(1/(2x))²，即x＝½√2时，y有最小值,y＝½√2.即x=y. 此时△APQ为正三角形，PQ//BC。由上所述，x=1时y=½√3为y的最大值.（完）。
