如图13,在四边形ABCD中,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.（1）若∠B+∠C=120°,求∠AED的度数；（2）根据（1）的结论,请猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系,并加以证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 03:37:07
如图13,在四边形ABCD中,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.（1）若∠B+∠C=120°,求∠AED的度数；（2）根据（1）的结论,请猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系,并加以证明.
如图13,在四边形ABCD中,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.（1）若∠B+∠C=120°,求∠AED的度数；（2）根据（1）的结论,请猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系,并加以证明.
如图13,在四边形ABCD中,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.（1）若∠B+∠C=120°,求∠AED的度数；（2）根据（1）的结论,请猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系,并加以证明.
第一问：
∵四边形的内角和＝360°,又∠B＋∠C＝120°,∴∠BAD＋∠CDA＝240°.
∵2∠EAD＝∠BAD,2∠EDA＝∠CDA,∴2（∠EAD＋∠EDA）＝240°,
∴∠EAD＋∠EDA＝120°,而∠AED＋∠EAD＋∠EDA＝180°,∴∠AED＝180°－120°＝60°.
第二问：
由∠B＋∠C＝120°,∠AED＝60°,可猜想：∠B＋∠C＝2∠AED.
证明如下：
∵∠AED＋∠EAD＋∠EDA＝180°,∴2∠AED＋2∠EAD＋2∠EDA＝360°,
又2∠EAD＝∠BAD,2∠EDA＝∠CDA,∴∠BAD＋∠CDA＋2∠AED＝360°··········①
而∠B＋∠C＋∠BAD＋∠CDA＝360°··········②
②－①,得：∠B＋∠C－2∠AED＝0,∴∠B＋∠C＝2∠AED.
60°
（1）∠AED的度数=60°；（解法同（2）．) （2）∠B+∠C=2∠AED， 理由如下： 设AE、DE与BC的交点为M、N； △ABM中，∠B+∠BAM+∠AMB=180°； △ADE中，∠E+∠EAD+∠EDA=180°； △NCD中，∠C+∠NDC+∠CND=180°； 由题意知：∠BAM=∠EAD、∠EDA=∠EDC； 故∠B+∠C=（180°-∠BAM-∠NDC）+（180°-∠BMA-∠DNC）； 由于∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAM-∠NDC， 且∠E=180°-∠EMN-∠ENM=180°-∠BMA-∠DNC， 故∠B+∠C=2∠E．
我看这样的题就晕啊